Polarkoordinatendarstellung einer komplexen Zahl

11.08.2013, 02:21

Joefish

Polarkoordinatendarstellung einer komplexen Zahl

Hallo,
ich moechte folgende Zahl in die Polarkoordinatendarstellung bringen: $\begin{eqnarray*} z = -2i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z & = \left| z \right| \left(\cos \left(\arctan \left(\frac{\Im}{\Re} \right) \right) + i \sin \left(\arctan \left(\frac{\Im}{\Re} \right) \right) \right) & = 2 \left(\cos \left(\arctan \left(\frac{-2}{0} \right) \right) + i \sin \left(\arctan \left(\frac{-2}{0} \right) \right) \right) \end{eqnarray*}$

Division durch 0 sieht eigentlich nie gut aus.
Die Loesung in meinem Buch heisst: $\begin{eqnarray*} z = 2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{2} \right) \right) \end{eqnarray*}$
Da der Tangens jedoch bei $\begin{eqnarray*} \pm\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ undefiniert ist, dachte ich dass die Nulldivision darauf hinaus laeuft.
Trotzdem gefaellt mit die Null im Nenner hier ganz und gar nicht und haette gerne eure Meinung dazu gehoert.

MfG Joefish

11.08.2013, 02:44

Dopap

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diese Umrechnungen Kartesisch --> Polarkoordinaten sind eben nicht eindeutig.

denke auch an kartesisch (0,0)-->polar.

In solchen Fällen würde ich den Winkel per Augenschein bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \varphi=\frac 32 \pi =-\frac 12 \pi \end{eqnarray*}$

11.08.2013, 12:32

Joefish

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Etwas enttaeuschend die Antwort..
Haette eher gehofft, dass ich einen Fehler gemacht habe,
als dass die Umrechnung in diesen Fall nicht umbedingt eindeutig ist Augenzwinkern

Danke Dopap

11.08.2013, 14:59

Che Netzer

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Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} \varphi=\frac 32 \pi =-\frac 12 \pi \end{eqnarray*}$

So gilt die Gleichung natürlich nicht;
$\begin{eqnarray*} -2\mathrm i=2\mathrm e^{\mathrm i\frac{3\pi}2}=2\mathrm e^{-\mathrm i\frac\pi2} \end{eqnarray*}$
jedoch schon.

(@Joefish: Die Umrechnung ist niemals eindeutig, wie Dopap schon sagte)

11.08.2013, 21:39

Joefish

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@Che Netzer:
Leider hatte ich noch nicht das Vergneugen mit der Eulerformel, jedoch (soweit ich das beurteilen kann) tut diese hier auch nichts zur Sache.
Mein Problem war die Nulldivision beim Berechnen von $\begin{eqnarray*} \varphi = \arctan\frac{\Im}{\Re} \end{eqnarray*}$ .
Nachdem ich mir $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ jedoch in der Gauss'schen Zahlenebene betrachtete, viel mir auf,
dass kein rechtwickliges Dreieck gebildet wird und somit es unmoeglich ist meine bisherige "Einsetz-Formel" anzuwenden.
Nun konnte ich aber klar ablesen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi = \left\{ -\frac{1}{2}\pi , \frac{3}{2}\pi \right\} \end{eqnarray*}$ sein musste.

Schleierhaft ist mir immernoch wie ich rechnerisch auf diesen Wert kommen koennte,
ohne die Sonderfaelle Im = 0, Re = 0 zu definieren.
Zurzeit befinde ich mich auf mathematischen Neuland.. Da kann schon mal was missverstanden werden :P

12.08.2013, 11:46

mYthos

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Zitat:

Original von Joefish
...
Schleierhaft ist mir immernoch wie ich rechnerisch auf diesen Wert kommen koennte,
ohne die Sonderfaelle Im = 0, Re = 0 zu definieren.
...

Da der Tangens bei ganzzahligen n für $\begin{eqnarray*} \frac{\pi} 2+ n \cdot \pi \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist, verwendet man einfach die Darstellung

$\begin{eqnarray*} \frak {Re} = r \cdot \cos \varphi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frak {Im} = r \cdot \sin \varphi \end{eqnarray*}$

Der Vorteil dabei ist es auch, dass damit der (innerhalb der ersten 4 Quadranten) in Frage kommende Quadrant genau eingegrenzt werden kann, währenddessen beim Tangens erst die nicht zutreffende Lösung auszuscheiden ist.

Damit kommt

$\begin{eqnarray*} 0 = 2 \cdot \cos \varphi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2 = 2 \cdot \sin \varphi \end{eqnarray*}$
_________________________

Die beiden Gleichungen sind durch "und" miteinander verbunden, d.h. sie müssen gleichzeitig gelten.
Deren Lösungsmengen sind demnach zu schneiden.

Was wird sich dann wohl für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ergeben?

mY+

12.08.2013, 20:36

Joefish

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Ich dachte mir schon, dass man $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} z = a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} z = ib \end{eqnarray*}$ abaendert, falls Im bzw Re = 0.
Ich denke ich habe das Problem sowieso etwas zu ausschweifend ausgepackt und somit groesser gemacht als es eigentlich ist...
Naja, da muss man wenigstens noch ein bisschen nachdenken und kann nicht nur stur die Formel anwenden.

Zitat:

Original von mYthos
[...]
$\begin{eqnarray*} 0 = 2 \cdot \cos \varphi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2 = 2 \cdot \sin \varphi \end{eqnarray*}$
_________________________

Die beiden Gleichungen sind durch "und" miteinander verbunden, d.h. sie müssen gleichzeitig gelten.
Deren Lösungsmengen sind demnach zu schneiden.

Was wird sich dann wohl für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ergeben?

mY+

$\begin{eqnarray*} \varphi \in \left]-\pi , \pi \right]; \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 2 \cdot \cos \varphi \ \Rightarrow \qquad \varphi_{1} &=& \left\{-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right\} \\ -2 = 2 \cdot \sin \varphi \ \Rightarrow \qquad \varphi_{2} &=& \left\{-\frac{\pi}{2} \right\} \\ \Rightarrow \varphi_1 \wedge \varphi_2 &=& \left\{-\frac{\pi}{2}\right\} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank fuer eure Hilfe smile

13.08.2013, 00:15

mYthos

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Die genauere Behandlung des Problemes ist schon in Ordnung.
Natürlich sieht man den Winkel sofort auch schon, wenn man den Zeiger in die Gauß'sche Zahlenebene einzeichnet.

Wie man aber sieht, ist eben auch eine einfache rechnerische Bestimmung des Winkels möglich. Vor allem kann man dabei auch für jeden anderen Winkel die Lage des Zeigers eindeutig festlegen.

mY+

13.08.2013, 10:28

HAL 9000

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@Joefish

Nicht grundlos bieten viele Programmierspachen bzw. deren Standardbibliotheken die atan2-Funktion an, weil mit dem Arkustangens allein der Polarkoordinatenwinkel nun mal nicht in allen Fällen darstellbar ist.

13.08.2013, 14:09

mYthos

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Diese sogenannte atan2-Funktion ist im Grunde nichts anderes als der gezeigte Ansatz mittels SIN und COS.

mY+

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