Lokale Ringe: Nullteiler und Erzeugendensysteme

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Kurvenliebhaber Auf diesen Beitrag antworten »
Lokale Ringe: Nullteiler und Erzeugendensysteme
Ich betrachte einen (noetherschen) lokalen Ring mit maximalem Ideal und wähle mir ein Element .

1) Warum ist dann kein Nullteiler in ? Meine Gedanken bisher dazu: Natürlich liegen alle Nullteiler in . Ich müsste nun zeigen, dass alle Nullteiler sogar in liegen. Doch wieso ist das so?
Hilft es mir, dass alle nilpotenten Elemente in einem minimalem Primideal liegen?

2) Wieso lässt sich zu einem minimalem Erzeugendensystem von erweitern? Meine Gedanken: Sei ein minimales Erzeugendensystem von , dann weiß ich nach Wahl von doch bisher nur, dass eine Linearkombination der ist. Doch da ich in einem Ring bin, kann ich ja nicht ohne weiteres ein gewisses durch austauschen, sodass wieder ein minimales Erzeugendensystem ist, oder?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1)
In einem nulldimensionalen lokalen Ring ist doch sogar jedes Element aus nilpotent, insbesondere auch die aus . (Und wenn wir nicht in einem Körper sind, so ist diese Menge auch stets nichtleer)

Da passt also irgendwas nicht, oder?

Zu 2)

Die Restklasse von lässt sich natürlich im - Vektorraum zu einer Basis erweitern.

Und nach dem Lemma von Nakayama bilden beliebige Urbilder einer solchen Basis ein Erzeugendensystem von , das dann natürlich auch minimal ist.
 
 
Kurvenliebhaber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zu 2)

Die Restklasse von lässt sich natürlich im - Vektorraum zu einer Basis erweitern.

Und nach dem Lemma von Nakayama bilden beliebige Urbilder einer solchen Basis ein Erzeugendensystem von , das dann natürlich auch minimal ist.


Das leuchtet ein smile

Zu 1): Ok, dann nehmen wir noch die Voraussetzung dazu, dass R regulär ist! Was wäre dann?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn auch noch regulär ist, dann ist ja ganz schon nullteilerfrei.
Kurvenliebhaber Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, und kann ich das mit den gegebenen Mitteln hier auch beweisen? Ich will so wenig wie notwendig von "außerhalb" verwenden.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Was sind denn deine gegebenen Mittel?

Eine Trivialität ist das wohl nicht.

Man kann z.B. mit Proposition 45.19 dieses Skripts und der Regularität zeigen:

Ist und , so gilt .
Kurvenliebhaber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich brauche die Aussage ja nur in dieser Situation, daher wäre der von dir zitierte Satz schon zuviel Aufwand, wegen der ganzen dafür notwendigen Resultate davor.

Vielleicht lässt sich der Beweis des Satzes ja in dieser Situation vereinfachen? Vor allem, da ich noch nicht einmal brauche, dass ganz R keine Nullteiler hat.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe dein Problem nicht.

Alles, was du für diese Proposition brauchst, ist das Grundwissen, was man über noethersch lokale Ringe braucht, bevor man überhaupt anfängt über Regularität zu sprechen.

Die Argumentation, die ich im Sinn habe, ist ja schon stark vereinfacht und zeigt insbesondere auch nicht die komplette Nullteilerfreiheit, sondern wirklich nur das, was du brauchst.
Kurvenliebhaber Auf diesen Beitrag antworten »

ok, dann versuch ich mich da mal einzulesen.

Danke für die Hilfe!
Kurvenliebhaber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss das Thema noch mal aufgreifen, da ich glaube, einen sehr kurzen Beweis gefunden dafür gefunden zu haben, was ich brauche. Dafür schwäche ich die ursprüngliche Behauptung zu 1) ein wenig ab:

z.z.: In einem lokalen noetherschen Ring R der Dimension >0 mit maximalem Ideal gibt es ein Element , das kein Nullteiler von R ist.

Beweis: Angenommen nicht, dann besteht aus lauter Nullteilern. Und damit auch das von diesen Elementen erzeugte Ideal J. Damit gilt und mit Nakayama folgt . Also besteht das maximale Ideal in R aus lauter Nullteilern, hat also Höhe = 0 im Widerspruch dazu, dass nach Voraussetzung gilt.

Ist das wasserdicht oder habe ich was übersehen? Man beachte, dass die Dimension hier die entscheidende Rolle spielt und die vorher erwähnten Gegenbeispiele nun scheitern. Ich brauche auch noch nicht einmal Regularität.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das von Nullteilern erzeugte Ideal muss aber nicht wieder nur aus Nullteilern bestehen.
Kurvenliebhaber Auf diesen Beitrag antworten »

Die Elemente in dem Ideal haben doch die Form wobei m ein Nullteiler ist. Dann ist doch auch ein Nullteiler, oder was sehe ich nicht?

Edit: Habs entdeckt! Es ist ja kein Hauptideal. Das meintest du, oder? Ich mach mir mal Gedanken.

Hast du schon eine Idee, ob man das noch reparieren kann?
Kurvenliebhaber Auf diesen Beitrag antworten »

Also Potenzen und Vielfache von Nullteilern sind wieder Nullteiler. Ebenso Summen und Produkte von mehreren Nullteilern. Damit müsste jedes Element in dem, von den Nullteilern erzeugtem, Ideal auch ein Nullteiler sein. Oder?

Jedoch fiel mir was anderes auf: Muss ein Ideal, dass aus Nullteilern besteht, zwingend Höhe = 0 haben? Bei nilpotenten Elementen stimmt es, doch bei allgemeinen Nullteilern ... ?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Summe von Nullteilern muss kein Nullteiler sein.

Und was das letzte angeht: Ja, da war ich auch schon drüber gestolpert.

Die Folgerung, dass jeder Nullteiler in einem Ideal der Höhe 0 liegt, klappt ja nur bei reduzierten Ringen.

Irgendwie sehe ich gerade keine schnelle Rettung. Allerdings auch kein Gegenbeispiel, das zeigen würde, dass man Regularität braucht unglücklich
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