Ungleichung beweisen

11.08.2013, 14:32

Mathemonster21

Ungleichung beweisen

Hallo,

ich möchte folgende Ungleichung beweisen:

$\begin{eqnarray*} | cos(e^x)-cos(e^y) | \leq | x-y | \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x\in (-\infty ,0] \end{eqnarray*}$

Dazu muss ich ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=cos(e^x) \end{eqnarray*}$ lipschitz-stetig mit Lipschitzkonstante 1 ist, allerdings weiß ich nicht so recht, wie ich das anstellen soll...

Ich fange mal an:

| cos(e^x)-cos(e^y) | = | cos(e^x)-cos(1) | mit y=0. und x bel. aus dem Intervall...leider weiß ich nun nicht wie es weiter geht...hoffe, dass mir jemand helfen kann

11.08.2013, 14:37

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde zeigen, dass die Ableitung durch 1 beschränkt ist. Hast du eine Idee, wie man damit dann weiter macht ?

11.08.2013, 14:55

Mathemonster21

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

könntest du mir bitte erklären, was mir das bringen sollte? das habe ich noch nicht so ganz verstanden verwirrt

11.08.2013, 15:02

Mathemonster21

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, denn \frac{f(x)-f(y)}{x-y} , gibt die Sekanten steigen zw. den Punkten x und y an.

Wäre ich dann nicht schon fertig, wenn ich gezeigt, hätte, dass die Steigung nach oben beschränkt ist durch 1?

11.08.2013, 15:03

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Willst du nicht selber noch ein bisschen überlegen?

Ich gebe mal einen Tipp: Der Mittelwertsatz ist geradezu maßgeschneidert für diese Aufgabe.

11.08.2013, 15:20

Mathemonster21

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} | cos(e^x)-cos(e^y) | \leq | x-y | , x,y \in (-\infty ,0]. \end{eqnarray*}$

Setze: $\begin{eqnarray*} f(x)=cos(e^x) \end{eqnarray*}$ . Offensichtlich ist f stetig auf jedem Intervall (t,0] für alle t<0.

Nach dem Mittelwertsatz gilt für alle [x,y]:

$\begin{eqnarray*} \frac{| f(x)-f(y) |}{| x-y | } = f'(x_0). \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-sin(e^x)*e^x, \end{eqnarray*}$ . also $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=sin(e^(x_0))*e^(x_0), \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0 \in (t,0) \end{eqnarray*}$ .

Insgesamt erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} \frac{| f(x)-f(y) |}{| x-y | } = f'(x_0)= -sin(1/e^(-x_0))*1/e^(-x_0)\leq -sin(1/e^(-x_0))*1\leq 1*1=1 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt die Behauptung.

Soweit korrekt? smile

11.08.2013, 15:38

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, von der Idee her ist das richtig Freude

Beim Aufschrieb würde ich noch ein bisschen feilen:

Zum Beispiel:

f muss nicht nur stetig, sondern auch differenzierbar sein.

Du sagst erst ziemlich spät, was x0 ist. Sag lieber bevor es auftaucht: Nach Mws existiert ein x0 aus dem Bereich .... mit der Eigenschaft ...

Vom Aufschrieb her ist es auch praktischer, sich x und y ganz am Anfang beliebig zu wählen, dann kannst du dir f gleich auf [x, y] definieren und du brauchst kein t.

Ok ?

11.08.2013, 15:46

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Aufschrieb ist viel fürchterlicher.
Ich ergänze mal.

Zitat:

Original von Mathemonster21
Setze: $\begin{eqnarray*} f(x)=cos(e^x) \end{eqnarray*}$ .

Wo ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ definiert?

Zitat:

Nach dem Mittelwertsatz gilt für alle [x,y]:

Was soll $\begin{eqnarray*} [x,y] \end{eqnarray*}$ sein? Ein Intervall?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{| f(x)-f(y) |}{| x-y | } = f'(x_0). \end{eqnarray*}$

Nein. Entweder lässt du links die Beträge weg oder du schreibst auch rechts welche.

11.08.2013, 15:47

Mathemonster21

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank smile

Eine letzte Frage hätte ich noch:

Ich habe den MWS bisher nur ohne Betragsstriche gesehen. Gilt er denn auch genauso mit Betragsstrichen für alle x,y aus dem Definitionsbereich?

11.08.2013, 15:53

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Neue Frage »

Antworten »

Ungleichung beweisen

Verwandte Themen