Kugel in Körper

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Yu Auf diesen Beitrag antworten »
Kugel in Körper
Folgende Aufgabe aus meiner diesjährigen Abiturprüfung (Anhang):

Vielleicht von Interesse was ich davor noch machen musste:

Restliche Punktkoordinaten ermitteln
Ebene (in der das Dreieck liegt) in Korrdinatenform aufstellen
Lotfußpunkt von (die abgeschnittene Ecke) zur Ebene ermitteln.
Und weiteres was hier jetzt aber belanglos ist.
___________________________________________________

Die Punktkoordinaten notiere ich jetzt nicht, die sind eindeutig (war ja mal ein Würfel).

Die Ebene ist:



Und der Lotfußpunkt ist:


_____________________________________________________

In meiner Prüfung habe ich den Mittelpunkt zwar richtig, aber mein Weg ist eigentlich Müll. Deswegen habe ich da auch nicht alle Punkte bekommen. Trotzdem interessiert mich der richtige Weg.

Ich habe die Annahme gemacht, der Mittelpunkt der Kugel liegt auf der Raumdiagonalen und berührt die Ebene in .

Da wir das Thema Kugel vollkommen rausgelassen haben, war das keine leichte Aufgabe. Deswegen bin ich ähnlich wie bei den Kreisen vorgegangen. Und deswegen wirds hier vermutlich falsch. Kugelgleichung sehn ja eigentlich wie Kreisgleichungen aus, nur dass es noch eine z-Koordinate gibt. Deswegen dachte ich, dass man ja mit 4 Punkten eine Kugelgleichung aufstellen können müsste. Da ich die Annahme gemacht habe T liegt auf der Kugel, brauchte ich noch 3 weitere Punkte. Und hier habe ich (irrtümlicherweise) die Mittelpunkte der anderen Tangentialebenen genommen (also die Quadratmittelpunkte).
Was später bei genauerem Überlegen eigentlich total falsch ist, da die Kugel so sicher über den Körper hinausragt (was mir GeoGebra auch bestätigt hat).

Nur wie ist der richtige Weg? Wie gehe ich hier vor?
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich habe die Annahme gemacht, der Mittelpunkt der Kugel liegt auf der Raumdiagonalen und berührt die Ebene in .

Die Annahme ist richtig. Und nun muß der Mittelpunkt der Kugel den gleichen Abstand zu Punkt T wie zu den Koordinatenebenen haben. (Aus Gründen der Symmetrie reicht die Betrachtung einer Ebene.)
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du die HNF kennst, könntest du die den abstand M(r/r/r) von E(E,B,G) betrachten
Yu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von opi
Und nun muß der Mittelpunkt der Kugel den gleichen Abstand zu Punkt T wie zu den Koordinatenebenen haben. (Aus Gründen der Symmetrie reicht die Betrachtung einer Ebene.)



Ja gut das erscheint logisch. Auf der Geraden (Raumdiagonale) g mit



gibt es einen Punkt M, der sowohl zur Ebene EBG als auch (zum Beispiel) zur Ebene ABCD den gleichen Abstand hat.
ich stehe irgendwie auf dem Schlauch, wie ich weitermachen soll. Die Informationen sollten ja ausreichen um M zu ermitteln.
Yu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte jetzt gedacht:



der Abstand von M zu T ist dann:



Der Lotfußpunkt von M zu der Ebene ABCD ist erstmal



Dann wäre der Abstand M zu P:



Wenn ich die Abstände gleichsetze erhalte ich:



Damit wäre dann:



Damit wäre dann



Ist das richtig?
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist richtig! Freude

Dein Rechenweg führt zum Glück auch gleich zur richtigen Lösung.
Bei einer leicht veränderten Rechnung oder einem anderen Lösungsansatz kann sich aber leicht eine falsche "Lösung" ergeben, dies liegt am Quadrieren mit anschließendem Wurzelziehen, negative Vorzeichen können verschwinden.


Betragsstriche Lösen das Problem. Diese Gleichung liefert zwei Lösungen, wovon nur eine (die Deine) sinnvoll ist.
 
 
Yu Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen! Wink
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