Definition eines Automorphismus in endlichen abelschen Gruppe

12.08.2013, 15:14	Gunda	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition eines Automorphismus in endlichen abelschen Gruppe Meine Frage: Hallo, wenn man weiß, dass für eine endliche abelsche Gruppe $\begin{eqnarray} G= \langle b_1, \ldots , b_n \rangle \end{eqnarray}$ gilt. Dabei soll $\begin{eqnarray} \{b_1 , \ldots ,b_n \} \end{eqnarray}$ ein minimales Erzeugenden System von G sein). Kann man dann einen Automorphismus eindeutig durch die Bilder der "Basiselemente" festlegen? Meine Ideen: Bei elementar abelschen Guppen funktioniert das ja, wegen der Vektorraumtheorie. Doch wie sieht es beispielsweise mit $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2= \langle (1,0),(0,1) \rangle \end{eqnarray}$ ? Dank euch
12.08.2013, 15:57	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Automorphismus ist immer durch die Bilder eines Erzeugendensystem eindeutig festgelegt. Die Frage ist, welche der Wahl der Bilder des Erzeugendensystem auch wirklich einen wohldefinierten Automorphismus liefert. Da die beiden Erzeuger $\begin{eqnarray} a=(1,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=(0,1) \end{eqnarray}$ außer $\begin{eqnarray} 4a=2b=0 \end{eqnarray}$ keine Relationen erfüllen, kriegt man immer einen Homomorphismus, wenn die Bilder der Erzeuger diese Relationen auch erfüllen. Einen Automorphismus kriegt man, wenn die Bilder auch nur genau diese Relation erfüllen. D.h. $\begin{eqnarray} (1,0) \mapsto (1,1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (0,1) \mapsto (0,1) \end{eqnarray}$ liefert einen Automorphismus. Jedoch $\begin{eqnarray} (1,0) \mapsto (2,1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (0,1) \mapsto (0,1) \end{eqnarray}$ liefert nur einen Homomorphismus, weil das Bild von $\begin{eqnarray} (1,0) \end{eqnarray}$ die Relation $\begin{eqnarray} 2x=0 \end{eqnarray}$ erfüllt.
12.08.2013, 16:35	Gunda	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha, also meinst du, dass $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ auf ein Element der Ordnung 4 und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ auf ein Element der Ordnung 2 abgebildet werden muss. Daher würde ja dann $\begin{eqnarray} \|Aut(\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2 )\|=12 \end{eqnarray}$ , weil man 4 Elemente der Ordnung 4 und 3 Elemente der Ordnung 2 in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray}$ hat. Stimmt das soweit? Vielen Dank
12.08.2013, 18:07	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, leider nicht. Z.b. liefert $\begin{eqnarray} (1,0) \mapsto (1,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (0,1) \mapsto (2,0) \end{eqnarray}$ keinen Automorphismus, obwohl die Ordnungen der Elemente stimmen. Aber die Bilder erfüllen halt noch die zusätzliche Relation $\begin{eqnarray} 2\cdot (1,0)+(2,0)=0 \end{eqnarray}$ , also liegt $\begin{eqnarray} (2,1) \end{eqnarray}$ im Kern...
13.08.2013, 10:51	Gunda	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, ich verstehe. Ich habe gerad versucht nun speziell bei dieser Gruppe herauszufinden, wie ich die Bilder von $\begin{eqnarray} (1,0),(0,1) \end{eqnarray}$ wählen muss, damit ein Automorphismus entsteht. Stell mich dabei aber ein wenig blöd an. Gibt es eine effektive Variante dafür um im Endeffekt alle Automorphismen zu bestimmen? LG

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