Drehwinkel einer 2x2 Matrix

12.08.2013, 16:48

Dennis944

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Drehwinkel einer 2x2 Matrix

Meine Frage:
Guten Tag miteinander,

mir liegt folgende Aufgabe vor und leider bin ich damit etwas überfordert.

die Matrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix}-0,391 & 0,921\\ -0,921 & -0,391\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ soll auf eine Drehung untersucht werden und wenn ja, soll Drehwinkel und Drehrichtung ermittelt werden.

Meine Ideen:
Ich habe zuerst die Determinanten ausgerechnet.

det (A) = 1,001122

Beschreibt diese Matrix eine Drehung denn streng genommen ist die $\begin{eqnarray*} \det(A) \neq 0 \end{eqnarray*}$ , oder?

Wie ich den Winkel und die Drehung bestimme weiß ich leider nicht...
Ich hoffe dass ihr mir helfen könnt.

Vielen Dank

Gruß
Dennis

Edit Equester: Latexklammern gesetzt.

12.08.2013, 17:38

Optimizer

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Eine Drehmatrix, die einer Drehung um den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ entspricht, hat die Form

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\<br /> \sin \alpha & \cos \alpha <br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Ist das bekannt? Danach musst du nur noch den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bestimmen.

12.08.2013, 19:36

Dopap

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wenn die DET(A)=1.001122 ist, dann sollte das zu denken geben.

Die Idee: DET(A)=1 ist nämlich richtig.

12.08.2013, 20:05

Dennis994

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dass die det (A) nicht genau +1 ist gab mir zu denken.
Bedeutet dass, das die obige Matrix keine Drehung beschreibt?

12.08.2013, 20:08

Dennis994

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RE: Drehwinkel einer 2x2 Matrix

Zitat:

Original von Dennis944
Meine Frage:
Guten Tag miteinander,

mir liegt folgende Aufgabe vor und leider bin ich damit etwas überfordert.

die Matrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix}-0,391 & 0,921\\ -0,921 & -0,391\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ soll auf eine Drehung untersucht werden und wenn ja, soll Drehwinkel und Drehrichtung ermittelt werden.

Meine Ideen:
Ich habe zuerst die Determinanten ausgerechnet.

det (A) = 1,001122

Beschreibt diese Matrix eine Drehung denn streng genommen ist die $\begin{eqnarray*} \det(A) \neq 0 \end{eqnarray*}$ , oder?

Wie ich den Winkel und die Drehung bestimme weiß ich leider nicht...
Ich hoffe dass ihr mir helfen könnt.

Vielen Dank

Gruß
Dennis

Edit Equester: Latexklammern gesetzt.

EDIT: mir ist ein kleiner Fehler aufgefallen. Soll heißen: Beschreibt diese Matrix eine Drehung denn streng genommen ist die $\begin{eqnarray*} \det(A) \neq +1 \end{eqnarray*}$ , oder?

@Optimizer:
Die Drehmatrix habe ich schon mal gesehen, aber ich weiß leider nicht so genau wie ich damit den Winkel und die Drehrichtung bestimmen kann. unglücklich

unglücklich

12.08.2013, 20:44

Dopap

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aus dem Vergleich der beiden Matrizen lässt sich z.B. ablesen:

$\begin{eqnarray*} \cos \alpha =-0.391 \rightarrow \alpha =113° \end{eqnarray*}$

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12.08.2013, 21:01

Dennis994

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Zitat:

Original von Dopap
aus dem Vergleich der beiden Matrizen lässt sich z.B. ablesen:

$\begin{eqnarray*} \cos \alpha =-0.391 \rightarrow \alpha =113° \end{eqnarray*}$

Was genau meinst du denn mit vergleichen?
aber danke schon mal smile

smile

12.08.2013, 21:21

Dopap

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$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix}-0,391 & 0,921\\ -0,921 & -0,391\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\<br />\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt hast du 4 Möglichkeiten zum Vergleich = Gleichsetzen.

Ich hatte oben links gewählt.

13.08.2013, 09:19

Dennis994

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Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix}-0,391 & 0,921\\ -0,921 & -0,391\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\<br />\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt hast du 4 Möglichkeiten zum Vergleich = Gleichsetzen.

Ich hatte oben links gewählt.

achsooo =)

und wenn ich unten links gleichsetze -> arcsin (-0,921) = -67,07°

Heißt das, dass die Matrix (A) keine Drehung beschreibt weil die det (A) nicht genau +1 ist und die Winkel nicht überall gleich sind? smile

smile

13.08.2013, 10:06

Dopap

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das mit dem 1.001 ist eben ein kleines Rundungsproblem, aber nicht entscheidend.

nun, es gibt ja immer 2 Winkel für jeden Fall. Musst eben den wählen, der für beide Fälle gilt:

$\begin{eqnarray*} \cos \alpha = -0.391 \Rightarrow \alpha_1=113°, \alpha_2=247° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin \alpha=-0.921 \Rightarrow \alpha = -67.1° , \alpha_2=247,1° \end{eqnarray*}$

jetzt kannt du den richtigen Winkel bestimmen.

13.08.2013, 10:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dennis994
Heißt das, dass die Matrix (A) keine Drehung beschreibt weil die det (A) nicht genau +1 ist

Genau genommen ist es keine Drehmatrix, ja.

Wenn man aber die dort stehenden Werte $\begin{eqnarray*} -0{,}391 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0{,}921 \end{eqnarray*}$ nur als auf drei Nachkommastellen gerundete Werte ansieht, d.h., tatsächlich im Hintergrund reelle Werte $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\approx -0{,}391 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} y\approx 0{,}921 \end{eqnarray*}$ und (!) $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$ gemeint sind, dann sieht die Sache anders aus! Und allem Anschein nach ist es hier wohl auch so gemeint.

P.S.: Der von Dopap angegebene Wert $\begin{eqnarray*} \alpha=113^{\circ} \end{eqnarray*}$ erfüllt dann mit $\begin{eqnarray*} x=\cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=\sin(\alpha) \end{eqnarray*}$ diese Rundungseigenschaft. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.08.2013, 11:54

Dennis994

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Zitat:

Original von Dopap
das mit dem 1.001 ist eben ein kleines Rundungsproblem, aber nicht entscheidend.

nun, es gibt ja immer 2 Winkel für jeden Fall. Musst eben den wählen, der für beide Fälle gilt:

$\begin{eqnarray*} \cos \alpha = -0.391 \Rightarrow \alpha_1=113°, \alpha_2=247° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin \alpha=-0.921 \Rightarrow \alpha = -67.1° , \alpha_2=247,1° \end{eqnarray*}$

jetzt kannt du den richtigen Winkel bestimmen.

wäre dann hier der Winkel 247°? Oder wie meinst du das mit dem Winkel der für beide Fälle gilt?

Muss die Matrix eigentlich orthogonal sein um sich drehen zu können?

EDIT:
@ Hal 9000: Danke, jetzt ist mir wenigstens mal das Rundungsproblem klar geworden. smile

smile

13.08.2013, 12:32

Dopap

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der Winkel von 247° erfüllt doch die Bedingungen.

Du kannst ja eine Probe durchführen !

Wie kommst du auf eine orthogonale Matrix ?

13.08.2013, 13:04

Dennis994

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alles klar, besten dank mal an dieser stelle.

Das mit der orthogonalen Matrix habe ich mal irgendwo gelesen, war mir aber nicht mehr sicher.
nur der vollständigkeit halber ist die bedingung für eine drehung also nur ihre determinate (+1)? orthogonal muss sie nicht sein, richtig?

EDIT:
wie kann ich denn eine probe durchführen? sry aber dieses Thema ist mein weißer wal xDD

13.08.2013, 21:59

Dopap

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Probe:

$\begin{eqnarray*} 1.) \cos(247°)=-0.390 \checkmark \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.) \sin(247°)=-0.9210 \checkmark \end{eqnarray*}$

das Gleichheitszeichen gilt im Rahmen der Rundung.

14.08.2013, 10:48

Dennis994

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super, vielen dank

14.08.2013, 10:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} 2.) \sin(247°)=-0.9210 \checkmark \end{eqnarray*}$

das Gleichheitszeichen gilt im Rahmen der Rundung.

Hier meldet sich mal wieder Bedenkenträger HAL zu Wort: Genau gerechnet ist

$\begin{eqnarray*} \sin(247^{\circ}) = -0.9205048\ldots \end{eqnarray*}$ ,

was auf drei Nachkommastellen gerundet tatsächlich $\begin{eqnarray*} \sin(247^{\circ}) \approx -0.921 \end{eqnarray*}$ ergibt. Auf vier Nachkommastellen gerundet ist dies jedoch aber nicht $\begin{eqnarray*} -0.9210 \end{eqnarray*}$ , sondern offenbar $\begin{eqnarray*} -0.9205 \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Sorry für die Krümelkackerei, aber wenn wir schon so ausführlich über Rundung sprechen, muss diese Ordnung dann auch sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.08.2013, 14:07

Dennis994

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eigentlich weiß ich jetzt Bescheid, aber eine Kleinigkeit stört mich noch.

Nach langen Recherchen habe ich eine Formel gefunden:
$\begin{eqnarray*} \cos \alpha = 0,5 * Spur (A) \end{eqnarray*}$

Nach dieser Formel ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 113°.

Wenn ich die Probe mache mit der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos \alpha & sin \alpha \\ -sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ passt das Ergebnis auf drei Nachkommastellen gerundet.

Wenn ich mit dem Winkel 247° die Probe mache mit der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ stimmt das Ergebnis ebenfalls.

Für welchen Winkel entscheide ich mich nun? Und hat das etwas mit der Drehrichtung zu tun?

Vermutung:
$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 113° -> Rechtsdrehung?
$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 247° -> Linksdrehung?

Äquivalent dazu die Drehmatrizen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos \alpha & sin \alpha \\ -sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> Rechtsdrehung?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> Linksdrehung?

Könnte das sein oder bin ich total auf dem falschen Dampfer? :-D

14.08.2013, 15:10

Leopold

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Du bist auf dem falschen Dampfer.

In einer Formelsammlung findest du vielleicht:

$\begin{eqnarray*} \color{blue} f(x) = a \left( x - p \right)^2 + q \, , \ a \neq 0 \end{eqnarray*}$

Schaubild ist Parabel mit Scheitel S=(p,q)

In einer anderen Formelsammlung steht:

$\begin{eqnarray*} \color{red} f(x) = a \left( x + p \right)^2 + q \, , \ a \neq 0 \end{eqnarray*}$

Schaubild ist Parabel mit Scheitel S=(-p,q)

Welche Formelsammlung hat nun recht? Manchmal die erste und manchmal die zweite? Oder immer die erste? Oder immer die zweite? Oder gar keine?

Ich spiele jetzt einmal den Dennis994 und versuche, den Scheitel der Parabel

$\begin{eqnarray*} y = 2x^2 - 4x + 5 \end{eqnarray*}$

zu bestimmen. Eine Umformung ergibt

$\begin{eqnarray*} y = 2 \left( x^2 - 2x + 1 \right) + 3 = 2 \left( x - 1 \right)^2 + 3 \end{eqnarray*}$

Benutze ich jetzt die erste Formelsammlung, so gilt $\begin{eqnarray*} p = 1 \end{eqnarray*}$ , benutze ich dagegen die zweite, so finde ich $\begin{eqnarray*} p = -1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt bin ich ratlos und frage: Hat die Parabel zwei Scheitel? verwirrt

verwirrt

14.08.2013, 20:31

Dopap

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Nochmal zur "Rundung"

da die Matrix keine exakte Drehmatrix ist, sind die restlichen Betrachtungen auch nicht exakt.
Alles hat eine gewisse Bandbreite.
Wenn man das von der Physik aus betrachtet: reiner Alltag.
Oft macht die Fehlerbetrachtung die Hauptarbeit.

Hier könnte man z.B. fragen:

Welches Winkelintervall erfüllt die Bedingung, dass die auf 3 Nachkommastellen gerundeten Winkelfunktionen den Vorgaben entsprechen ?

16.08.2013, 14:57

Dennis994

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alles klar, danke!

gibts dann irgendeine andere Möglichkeit die drehrichtung zu bestimmen?

16.08.2013, 15:03

Leopold

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Zitat:

Original von Dennis994
alles klar, danke!

gibts dann irgendeine andere Möglichkeit die drehrichtung zu bestimmen?

Die Frage irritiert mich. Das klingt so, als hättest du nicht verstanden, was mein Beitrag intendiert hat.

16.08.2013, 15:20

Dennis994

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Zitat:

Original von Leopold

Die Frage irritiert mich. Das klingt so, als hättest du nicht verstanden, was mein Beitrag intendiert hat.

damit liegst du goldrichtig

16.08.2013, 15:23

Leopold

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Dann denk mal drüber nach und übertrage das auf deine Frage.

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