Globale Extrema mehrdimensionale Funktion

12.08.2013, 16:48

ZerO22

Globale Extrema mehrdimensionale Funktion

ich möchte folgende Aufgabe lösen:

Gegeben: $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^3+y^3-3x-12y+20 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Bestimmen Sie die lokalen Maxima und Minima. Hat die Funktion auch globale Extrema?

Zu den lokalen Extrema: Da konnte ich folgende kritischen Punkte ausfindig machen:

$\begin{eqnarray*} P_1(1,2) , P_2(-1,2) , P_3(1,-2) , P_4(-1,-2) \end{eqnarray*}$ (ich hoffe sie stimmen..)

Nun zu den Globalen Extrema:

Hier weiß ich nicht genau , was ich machen soll, da ich einen unbeschränkten Definitionsbereich habe...ich würde mal darauf tippen, dass ich Grenzwerte wie :

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (+\infty ,+\infty } f(x,y,) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0 ,+\infty } f(x,y,) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (+\infty ,0} f(x,y,) \end{eqnarray*}$

und diese dann mit den lokalen Extrema vergleichen muss...stimmt das ?

12.08.2013, 17:26

Optimizer

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Deine kritischen Punkte stimmen. Weißt du, wie du weiter vorzugehen hast?

Zu den globalen Extrema: Damit ist gemeint, dass du untersuchen sollst, ob es in deinem Definitionsbereich ein Element $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ gibt, das einem globalen Extremum entspricht. Mit entsprechen mein ich natürlich, dass der Funktionswert an der Stelle $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ gleich dem eines globalen Extremas ist.
Überlege dir dazu (ohne zu rechnen, du musst nur die Funktion anschauen): Wie groß/klein kann die Funktion im extremsten Fall werden? (dein Ansatz mit den Grenzwerten ist da schon sehr nützlich)

12.08.2013, 18:37

ZerO22

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Zitat:

Original von Optimizer dir dazu (ohne zu rechnen, du musst nur die Funktion anschauen): Wie groß/klein kann die Funktion im extremsten Fall werden? (dein Ansatz mit den Grenzwerten ist da schon sehr nützlich)

, danke für die Antwort.

Also...die Funktion kann beliebig groß und beliebig klein werden. Dann würde ich sagen, dass es keine globalen Extremwerte gibts... verwirrt

12.08.2013, 18:44

Leopold

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Die Überschrift deines Threads ist sprachlich falsch. Es muß "globales Extremum" heißen:

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} \text{Singular} & \text{Plural} \\ & \\ \text{Extremum, Minimum, Maximum} & \text{Extrema, Minima, Maxima} \\ \text{Praktikum} & \text{Praktika} \\ \text{Visum} & \text{Visa} \\ \text{Antibiotikum} & \text{Antibiotika} \end{matrix} \end{eqnarray*}$

12.08.2013, 19:45

ZerO22

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Danke für den Hinweis.

Kann mir sonst jemand weiterhelfen?

12.08.2013, 19:55

Leopold

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Zitat:

Original von ZerO22
Also...die Funktion kann beliebig groß und beliebig klein werden. Dann würde ich sagen, dass es keine globalen Extremwerte gibts... verwirrt

Das stimmt. Vielleicht solltest du es aber noch belegen.

Und würdest du den Thread-Titel ändern? Bitte ... traurig

12.08.2013, 20:31

ZerO22

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Dann mal ran ans Werk:

Angenommen $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ ist globales Extremum von f, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x_0,y_0) \geq f(x,y) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y,) \to \infty } f(x) \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} f(x,y) \geq f(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ (für hinreichend große x,y).

Widerspruch! Also existiert kein globales Extremum.

P.S. Da ich nicht regristriert bin, kann ich leider nicht den Titel ändern, fürchte ich..

12.08.2013, 20:56

Leopold

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Zitat:

Original von ZerO22
Wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y,) \to \infty } f(x) \end{eqnarray*}$

Damit habe ich ein Problem. Was soll das bedeuten?
Du brauchst es dir auch gar nicht schwer zu machen. Du kannst zum Beispiel $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ wählen und dann $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x \to -\infty \end{eqnarray*}$ untersuchen.
Dieser Spezialfall genügt zur Argumentation.

12.08.2013, 21:00

Optimizer

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Zitat:

Original von ZerO22

Wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y,) \to \infty } f(x) \end{eqnarray*}$

Naja, das ist natürlich formal unvollständig/falsch. Falls du meintest:

Wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y,) \to (\infty,\infty) } f(x,y) \end{eqnarray*}$

würde deine Argumentation fast (!) passen, jedoch folgt dann

$\begin{eqnarray*} f(x,y) > f(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ (für hinreichend große x,y).

In diesem Fall bekommst du auch einen Widerspruch. Du hast bei deiner Argumentation übrigens keinen Widerspruch erhalten (warum?).

Edit: Zu spät

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