Ungleichung mit Logarithmus

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küb Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mit Logarithmus
Meine Frage:
Hey Leute,

könnte mir vielleicht mal jemand einen Ansatz geben..?

Zeigen Sie, dass die Ungleichung für alle x,y > 0 gilt:



Tipp: Wenn f(x) streng monoton steigend und injektiv ist, dann a<b, f(a)<f(b) und a=b, f(a)=f(b)

Ich weiß bei solchen Aufgaben nie, wie ich ansetzen soll..

Ich habe die Terme etwas umgeformt und kam zu:



Jetzt weiß ich aber nicht, ob mir das etwas bringt bzw. wie ich anfangen soll..

Meine Ideen:
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Verwende links das erste und dritte Logarithmusgesetz. Da der Logarithmus streng monoton wächst, kannst du dich dann vom Logarithmus befreien. Dann steht da nur noch die bekannte Ungleichung vom geometrischen und arithmetischen Mittel. Auf die kannst du dich berufen, oder du mußt sie beweisen.
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Meintest du das jetzt schon für die umgeformte Variante?

Ich habe dann stehen:



Stimmt das soweit?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Links stimmt es. Was du rechts gemacht hast, ist mir schleierhaft. Richtig ist es jedenfalls nicht. Laß die rechte Seite stehen - und weg mit dem Logarithmus! Warum braucht man dafür die strenge Monotonie?
küb Auf diesen Beitrag antworten »



Und jetzt lasse ich ln weg:



Und ich brauche die strenge Monotonie, damit die linke Seite auch wirklich für jedes x kleiner ist als die rechte Seite..
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist nicht richtig. Eigentlich habe ich das in meinem vorigen Beitrag schon gesagt: Die rechte Seite war falsch umgeformt gewesen. Von einer falschen Aussage kann man aber nicht weiterschließen.

Noch einmal: Laß die rechte Seite stehen (wie ganz zu Anfang), überlege, warum du dann den Logarithmus weglassen darfst.
 
 
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ich dachte, du meinst, dass die zweite Umformung falsch war..

Also dann:



Und jetzt würde ich das ln weglassen, weil ln(x) injektiv und streng monoton steigend ist und somit für jedes x nur ein zugehöriges y existiert..




Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Umformung stimmt. Die Begründung überzeugt mich nicht. Nicht weil sie ganz falsch wäre, sondern weil du zuviel sagst, so daß man nicht erkennt, welche Eigenschaft für die Gültigkeit des Schlusses verantwortlich ist.
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, dann nur die strenge Monotonie, weil :
Wenn die linke Seite größer wird, die rechte Seite ebenfalls größer wird und somit auch immmer größer bleibt als die linke Seite..
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von küb
Naja, dann nur die strenge Monotonie


Das ist wiederum zu wenig.
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Dadurch, dass ln(x) streng monoton ist, muss sie auch injektiv sein.
Somit wird die rechte Seite für immer größer werdende x und y immer größer als die linke Seite.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Injektivität ist es nicht, das wäre viel zu wenig. Es ist eine stärkere Eigenschaft, die du aber vorhin durch die angeführte Injektivität sprachlich abgewertet hast.

Ja, es ist die strenge Monotonie. Aber welche?
küb Auf diesen Beitrag antworten »

Mit "welcher" meinst du jetzt, dass ln(x) streng monoton wächst?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Letztlich geht es um den folgenden Schluß:



Für beliebige Funktionen funktioniert so ein Schluß gar nicht. Das ist im allgemeinen gräßlich falsch. Aber unser ist streng monoton wachsend. Darum stimmt es.

Für streng monoton fallende Funktionen gälte:



Die Ungleichung, die du jetzt erhalten hast, ist die Ungleichung vom geometrischen und arithmetischen Mittel. Jetzt versuche, sie zu beweisen, entweder alleine oder indem du hier die Boardsuche betätigst. Denn dieses Thema gab es mindestens schon dreiundsiebzigkommavier mal.
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