Dichte eines zweidimensionalen und gleichverteilten Zufallsvektors

12.08.2013, 21:28

LisaFee

Dichte eines zweidimensionalen und gleichverteilten Zufallsvektors

Meine Frage:
Hey,

leider sitze ich schon wieder an einer Übungsaufgabe, bei der ich überhaupt nicht weiter weiß...
Solche Aufgabentypen haben wir weder in der Vorlesung noch Übung behandelt und ich kann mir auch mit Hilfe verschiedenster Bücher nichts darunter vorstellen:

Es sei $\begin{eqnarray*} B:=\left\{ (x,y)\right\} \in R^{2} : 0<x<1, 0<y<x^{2} \end{eqnarray*}$ . Der zweidimensionale Zufallsvektor (X,Y) sei gleichverteilt in B.
a) Zeigen Sie, dass (X,Y) die Dichte f(x,y)= 3*1[B(x,y)] (Indikatorfunktion) besitzt.
b) Bestimmen Sie jeweils die Dichte der Verteilungsfunktion der Randverteilung von X bzw. Y.

Meine Ideen:
Den Lösungsweg habe ich hier vor mir liegen...mir ist jedoch völlig unklar wie man darauf kommt. Warum gibt die Indikatorfunktion geteilt durch den Flächeninhalt von B (mir ist klar wie man diesen berechnet) die Dichte f(x,y)?

Bei der Dichtefunktion von X wird angegeben, dass $\begin{eqnarray*} 3*\int_0^1 \! 1[B(x,y)] \, dy \end{eqnarray*}$ ist...soweit ist mir das klar, wie komme ich dann aber auf $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! 1 \, dy \end{eqnarray*}$ mit den Grenzen a=0 und b=x^2? Das ist mir völlig unklar...
Und bei der Dichtefunktion von Y folgt dementsprechend $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! 1 \, dx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{y} \end{eqnarray*}$ und b=. Wie erhalte ich denn diese Grenzen? ;-(

Vielleicht kann mir jemand helfen...
Vielen Dank schon einmal!

13.08.2013, 08:19

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von LisaFee
Warum gibt die Indikatorfunktion geteilt durch den Flächeninhalt von B (mir ist klar wie man diesen berechnet) die Dichte f(x,y)?

Du hast sicher die stetige Gleichverteilung auf einem Intervall (im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^1 \end{eqnarray*}$ ) oder einem Rechteck (im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ), vielleicht sogar in einem Quader (im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ) kennengelernt. Kennzeichnend für diese Verteilungen war jeweils konstante Dichte innerhalb dieser Intervalle/Rechtecke/Quader und Dichte Null außerhalb.

Das gleiche Prinzip kann man auf beliebige $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensionale Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ endlichen Lebesgue-Borel-Maßes ungleich Null verallgemeinern: Die stetige Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ wird durch das Wahrscheinlichkeitsmaß

$\begin{eqnarray*} P_K(A) := \frac{\lambda(A\cap K)}{\lambda(K)} \end{eqnarray*}$ für Borelmessbare Mengen $\begin{eqnarray*} A\subseteq \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$

beschrieben, und eine zugehörige Dichte wäre dann

$\begin{eqnarray*} f_K(x) = \frac{1_K(x)}{\lambda(K)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .

(Ich nehme mal an, davon habt ihr auch gehört, und das hast es nur vergessen bzw. konntest es hier nicht zuordnen.)

Zitat:

Original von LisaFee
wie komme ich dann aber auf $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! 1 \, dy \end{eqnarray*}$ mit den Grenzen a=0 und b=x^2? Das ist mir völlig unklar...
Und bei der Dichtefunktion von Y folgt dementsprechend $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! 1 \, dx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{y} \end{eqnarray*}$ und b=. Wie erhalte ich denn diese Grenzen?

Das Gebiet $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ wird durch entsprechende horizontale bzw. vertikale Geraden geschnitten. Die zugehörigen ausgeschnittenen Intervalle sind dann das Integrationsgebiet für die zu berechnenden Randdichten. Wenn also $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mit einer horizontalen Geraden konstanten $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Wertes geschnitten wird, dann bedeutet das für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gemäß Defintion von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ zwei Bedingungen: Einmal $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$ , insbesondere also für die obere Grenze $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ . Andererseits folgt aus $\begin{eqnarray*} 0<y<x^2 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{y}<|x| \end{eqnarray*}$ , und wegen $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ daher auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{y}<x \end{eqnarray*}$ . Also muss $\begin{eqnarray*} \sqrt{y}<x<1 \end{eqnarray*}$ sein, das ist das Integrationsintervall.

13.08.2013, 08:24

LisaFee

Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit den Lebesgue-Borel-Maßen haben wir behandelt, da hast du vollkommen recht, i-wie habe ich an das gar nicht mehr gedacht...

Aber vielen Dank für die tolle Erklärung!
Ich glaube mir ist einiges klarer geworden...dann werde ich mir dieses Kapitel nochmal zu Gemüte führen!

Danke Freude

Neue Frage »

Antworten »

Dichte eines zweidimensionalen und gleichverteilten Zufallsvektors

Verwandte Themen