Varianz der Differenz (D) Verständnisproblem der Formel

13.08.2013, 10:41

rudyratlos

Varianz der Differenz (D) Verständnisproblem der Formel

Von zwei Grundgesamtheiten seien die arithmetischen Mittel und die Varianzen bekannt. Das arithmetische Mittel der 1. Grundgesamtheit betrage my1 und das der 2. Grundgesamtheit laute my2 . Die Varianz der 1. Grundgesamtheit betrage s²1 =2 und die der 2. Grund-gesamtheit s²2 =2 . Nun wird aus diesen beiden Grundgesamtheiten jeweils eine Stichprobe im Umfang von n1 bzw. n2 gezogen. Die Differenz der Stichprobenmittelwerte wird durch D angegeben. Die Varianz von D, also Var (D) lässt sich gemäß der Formel wie auf dem Bild im Anhang dargestellt ermitteln.

Erläutern Sie verbal, warum
- bei Var (D) die mit den Beobachtungswerten gewichteten Varianzen der
Grundgesamtheit addiert und nicht subtrahiert werden und warum
- die Varianz des arithmetischen Mittels der Stichproben um den Faktor 1/n1 bzw. 1/n2
kleiner ausfällt als die Varianz der Merkmalswerte der Grundgesamtheit.

13.08.2013, 11:25

HAL 9000

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Folgende zwei Varianzeigenschaften genügen hier als Argumentationsbasis:

1) $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(aX) = a^2\operatorname{var}(X) \end{eqnarray*}$ für beliebige reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit existenter Varianz.

2) $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(X+Y) = \operatorname{var}(X)+\operatorname{var}(Y) \end{eqnarray*}$ für beliebige unabhängige Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ mit jeweils existenter Varianz.

Dies wohlüberlegt auf die Stichprobenmittelwerte sowie deren Differenz angewandt ist man fertig.

13.08.2013, 12:58

rudyratlos

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vielen dank!

19.08.2013, 11:49

rudyratlos

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was ich jedoch noch nicht so ganz verstehe ist:

warum die Varianz des arithmetischen Mittels der Stichproben um den Faktor 1/n1 bzw. 1/n2 kleiner ausfällt als die Varianz der Merkmalswerte der Grundgesamtheit.

hmm finde da keinen Lösungsansatz

19.08.2013, 14:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von rudyratlos
was ich jedoch noch nicht so ganz verstehe ist:

warum die Varianz des arithmetischen Mittels der Stichproben um den Faktor 1/n1 bzw. 1/n2 kleiner ausfällt als die Varianz der Merkmalswerte der Grundgesamtheit.

"Noch nicht so ganz" ist eine tolle Formulierung. Denn das ist doch genau das, was hier wirklich zu tun ist. verwirrt

Für $\begin{eqnarray*} \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k \end{eqnarray*}$ folgt:

(A) Eigenschaft 1) mit $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(\bar{X}) = \frac{1}{n^2} \operatorname{var} \left( \sum_{k=1}^n X_k \right)\qquad (1) \end{eqnarray*}$

(B) Eigenschaft 2) auf die Summe wiederholt angewandt:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{var} \left( \sum_{k=1}^n X_k \right) = \sum_{k=1}^n \operatorname{var} \left( X_k \right) \end{eqnarray*}$

Da nun alle $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ der Stichprobe identisch verteilt sind, ist der Summand rechts jedesmal derselbe, exemplarisch $\begin{eqnarray*} \operatorname{var} \left( X_1 \right) \end{eqnarray*}$ . Es ist also

$\begin{eqnarray*} \operatorname{var} \left( \sum_{k=1}^n X_k \right) = n\operatorname{var} \left( X_1 \right)\qquad (2) \end{eqnarray*}$ .

(C) Gleichung (2) in (1) eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(\bar{X}) = \frac{1}{n} \operatorname{var} \left( X_1 \right) \end{eqnarray*}$ .

Wie ich schon sagte: Alles mit den Eigenschaften 1) und 2) machbar.

19.08.2013, 14:23

rudyratlos

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perfekt danke, das hat mir geholfen ums zu verstehen!

20.08.2013, 14:57

jennysweet

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hey,

habe zwar nicht die frage hier gestellt aber interessiere mich auch für eine antwort, jedoch kann ich mit dem ganzen formelzeugs überhaupt null anfangen unglücklich

ist für beantwortung der frage auch eine etwas verständlichere lösung möglich in form eines kurzen satzes?

wäre für jede hilfe in dieser form sehr dankbar

verwirrt

22.08.2013, 11:31

jennysweet

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sieht keiner eine möglichkeit? geht es nur über die formel? irgendeine verbale erklärung wäre hilfreich für mich

22.08.2013, 16:41

HAL 9000

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Das zu bohrende Brett ist schon ziemlich dünn, und du willst es noch dünner haben, vermutlich auf Papierdicke. Den Wunsch kann offenbar kaum einer erfüllen - zumindest hat sich noch keiner von diesen Zauberern hierher verirrt. Augenzwinkern

EDIT: Aber ich wünsch dir viel Erfolg im thematisch gleichen Schulmathematik-Thread

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