Gauss und Vektorschreibweise bei frei wählbaren Unbekannten

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13.08.2013, 11:15	Mathezwerg	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauss und Vektorschreibweise bei frei wählbaren Unbekannten In einem Buch habe ich für die unten stehende Gauss-Zusammenstellung eine Vektorschreibweise gefunden, mit der auch die frei wählbare Unbekannte beschrieben wird: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{array} {\|c\|c\|c\|\|c\|} \hline \text{x1} & \text{x2} & \text{x3} & \text{=}\\ \hline\hline \text{1} & \text{2} & \text{3} & \text{6} \\ \hline \text{0} & \text{-1} & \text{-2} & \text{-3} \\ \hline \end{array} <br /> <br /> \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Ich verstehe nur leider nicht, wie ich aus der Gauss-Zusammenstellung die Vektorschreibweise ableite, bzw. wie ich den Vektor interpretieren kann. Wenn mir jemand das erläutern könnte, würde mir das schon viel weiter helfen.
13.08.2013, 11:52	bob4711	Auf diesen Beitrag antworten »
Direkt ablesen kann man das nicht. Du musst das Gleichungssystem zunächst allgemein lösen.
13.08.2013, 11:56	bob4711	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die Vektordarstellung mal zeilenweise betrachtest oder hinschreibst, dann müsste es eigentlich auch klar werden.
13.08.2013, 11:56	Mathezwerg	Auf diesen Beitrag antworten »
Das GLS ist schon gelöst, ich habe nur die übrig gebliebenen Zeilen (nach der Auflösung) aufgeschrieben. Das GLS hat unendlich viele Lösungen.
13.08.2013, 12:01	bob4711	Auf diesen Beitrag antworten »
Gelöst heißt doch, dass da auch irgendwo eine Lösungsmenge steht. Das ist bei dir nicht der Fall und das brauchst du hier halt.
13.08.2013, 12:19	Mathezwerg	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann noch die Rückrechnung aufstellen: $\begin{eqnarray} x1 +2x2 +3x3 = 6<br /> -x2 -2x3 = -3 \end{eqnarray}$ Durch umstellen komme ich auf: $\begin{eqnarray} <br /> x2 = 3 -2x3<br /> x1 = 6 -2x2 -3x3 => x3 \end{eqnarray}$ Und dann ist $\begin{eqnarray} <br /> x1=x3<br /> x2 = 3-2x3 \end{eqnarray}$ Wobei x3 frei wählbar ist. Aber auch hier "sehe" ich nicht, wie ich die Vektorschreibweise hinbekomme.
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13.08.2013, 12:29	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm komisch, dass du es gerade jetzt nicht siehst. Dann machen wir es NOCH ein wenig deutlicher: x1 = 0+1x3 x2 = 3 -2x3 x3 = 0+1x3 Jetzt klar ?
13.08.2013, 13:13	Mathezwerg	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, in dieser Darstellung lichtet sich der Vorhang bei mir etwas. Aber ich muss das erstmal sacken lassen. Ich komme aber bestimmt noch mal mit einer Frage zurück.
13.08.2013, 13:14	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne. Verinnerliche das erst mal etwas und wenn es dann noch Unklarheiten gibt, melde dich.
13.08.2013, 15:12	Mathezwerg	Auf diesen Beitrag antworten »
Und da bin ich wieder mit einer weiteren Verständnisfrage. Zunächst möchte ich noch das Ursprungstableau angeben, auf das sich das Endtableau aus meinem Anfangspost bezieht: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{array} {\|c\|c\|c\|c\|\|c\|} \hline \text{} & \text{x1} & \text{x2} & \text{x3} & \text{=}\\ \hline\hline \text{e1} & \text{1} & \text{2} & \text{3} & \text{6} \\ \hline \text{e2} & \text{2} & \text{3} & \text{4} & \text{9} \\ \hline \text{e3} & \text{4} & \text{6} & \text{8} & \text{12} \\ \hline \end{array}<br /> \end{eqnarray}$ Ich habe hier und heute neu gelernt, dass man aus dem Gauss-Tableau nicht direkt auf die Vektorschreibweise kommt. Lieber benutze ich aber auch das Austauschverfahren. Und in dem unten stehenden Endtableau kann ich nun auch "direkt" die Lösung für x1 und x2 ablesen: Endtableau nach BAV: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{array} {\|c\|c\|c\|c\|\|c\|} \hline \text{} & \text{e1} & \text{e2} & \text{x3} & \text{=}\\ \hline\hline \text{x1} & \text{-3} & \text{-2} & \text{-1} & \text{0} \\ \hline \text{x2} & \text{2} & \text{-1} & \text{2} & \text{3} \\ \hline \text{e3} & \text{0} & \text{2} & \text{0} & \text{-6} \\ \hline \end{array} <br /> \end{eqnarray}$ In der letzten Zeile konnte ich x3 und e3 nicht tauschen. Das ist für mich eigentlich der Hinweis, das x3 frei wählbar ist (sein muss). Aber wie interpretiere ich die letzte Zeile bezüglich der Vektorschreibweise? Insbesondere, wo doch das Ergebnis "-6" lautet?

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