Brüche Addieren, Erweitern

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13.08.2013, 12:11	Mate51	Auf diesen Beitrag antworten »
Brüche Addieren, Erweitern Meine Frage: Hallo Leute, habe teilweise Probleme beim sinnvollen Erweitern und Umstellen von Brüchen. Wäre schön, wenn Ihr mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen könntet und eventuell noch Tipps mit auf den Weg geben könntet! Danke $\begin{eqnarray} \frac{m}{m+1} + \frac{2m}{m^2-1} + m \end{eqnarray}$ Meine Ideen: => $\begin{eqnarray} \frac{m}{m+1} + \frac{2m}{m^2-1} + \frac{m(m+1)}{m+1} \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \frac{m}{m+1} + \frac{2m}{m^2-1} + \frac{m^2+m)}{m+1} \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \frac{m^2+2m}{m+1} + \frac{2m}{m^2-1} \end{eqnarray}$ Wie gehts weiter?
13.08.2013, 12:20	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Denke mal bei m²-1 an eine binomische Formel und bringe die beiden verbleibenden Brüche dann auch noch auf einen Nenner.
13.08.2013, 12:27	Mate51	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, an den Binom habe ich schon gedacht. Beim Schreiben der weiteren Antwort ist mir dann aufgefallen, dass es dann einfach die 3. Binomische ist. Ich habe krampfhaft versucht, den Nenner m+1 zu m^1-1 zu Erweitern und bin an der -1gescheitert :-)
13.08.2013, 12:31	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit also nun alles klar oder gibts noch Probleme ?
13.08.2013, 12:32	Mate51	Auf diesen Beitrag antworten »
Moment mal, wie soll ich m+1 mit m Erweitern , da kommt ja dann m^2+m raus und nicht m^2+1 Oder bin ich wieder aufm Holzweg? -_-
13.08.2013, 12:33	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Langsam. Wie lautet denn nun der gemeinsame Nenner (Hauptnenner) ?
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13.08.2013, 12:38	Mate51	Auf diesen Beitrag antworten »
(m+1)(m^2-1)
13.08.2013, 12:42	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Joa ok, so kriegt man die Brüche auch auf einen gemeinsamen Nenner. Aber ich dachte wir wollten mit der 3. bin. Formel und damit dann mit dem kgV arbeiten...
13.08.2013, 12:45	Mate51	Auf diesen Beitrag antworten »
Würde ich auch lieber, jedoch will mir nicht einfallen wie, denn beim m^2-1 kann ich offensichtlich keim m kürzen und beim m+1 weiß ich nicht wie ich auf m^2 kommen soll, ohne die +1 in ein 1m zu verwandeln
13.08.2013, 12:52	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht wirklich was du mir sagen willst. Wie kann man denn m²-1 mit der binomischen Formel noch schreiben und was wäre damit dann der Hauptnenner ?
13.08.2013, 12:57	Mate51	Auf diesen Beitrag antworten »
AHHHHHH (m+1)(m-1) Also muss ich den Nenner m+1 lediglich mir m-1 erweitern. Dachte die ganze Zeit daran mit den beiden Nennern die aufgelöste Form der 3.Bino Formel hinzubiegen und nicht daran, das der zweite Nenner die 3. zusammengefasst ist.
13.08.2013, 13:05	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis auf dass man nicht den Nenner, sondern den ganzen Bruch mit (m-1) erweitern muss, hast du es wohl nun durchschaut.
13.08.2013, 13:06	Mate51	Auf diesen Beitrag antworten »
So, bin dann bei $\begin{eqnarray} \frac{m^3+m^2}{(m+1)(m-1)} \end{eqnarray}$ Was darf man jetzt hier Kürzen, ich weiß das bei Summen dann das zu Kürzende in jeder Summer vorhanden sein muss. Komme dann allerdings irgendwie nicht auf die Lösung : $\begin{eqnarray} \frac{m^2}{m-1} \end{eqnarray}$
13.08.2013, 13:13	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Klammere im Zähler doch mal etwas aus.
13.08.2013, 13:17	Mate51	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ja, dann wirds klar. Ist für mich sehr schwer sowas immer zu erkennen. Wärst du vielleicht bereit mir bei einer weiteren Aufgabe zu helfen? Geht ums gleiche Thema. Danke schonmal für deine Hilfe!
13.08.2013, 13:32	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja dann schieß los.
13.08.2013, 13:43	Mate51	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. $\begin{eqnarray} \frac{1}{u}+\frac{u^2+1}{u^2-u}- \frac{u-1}{u^2+u}-\frac{4}{u^2-1} \end{eqnarray}$ Jetzt weiß ich schon nicht genau wie ich beginnen soll. Ich sehe einerseits, dass ich sich im Nenner des letzten Bruches die 3.Bino Formel befindet und anderenseits, dass die beiden mittleren Nenner mit einander multipliziert ebenfalls die 3 Binomische bilden. Den ersten Bruch könnte man recht einfach auf die Form der mittleren, multiplizierten bringen. Und da hänge ich jetzt fest. $\begin{eqnarray} \frac{u^4+u^3+3u^2-u}{u^4-u^2}-\frac{4}{u^2-1} \end{eqnarray}$
13.08.2013, 13:50	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Also es ist oft so, dass es zweckmäßig ist, alle auftauchenden Nenner zunächst mal zu faktorisieren, falls möglich. Das passiert meist durch binomische Formeln oder durch ausklammern, das sind so die Parademethoden dafür, wenn man Produkte bzw Faktoren erzeugen will. Warum macht man das ? Naja eben mit dem Hintergedanken, dass das Ziel ja sein wird, am Ende das kleinste gemeinsame Vielfache als Hauptnenner zu nehmen und dafür bieten sich solche faktorisierten Darstellungen gerade zu an. Du hast hier also 4 verschiedene Nennerterme. 3 davon kannst du faktorisieren. Tu das erst mal und überlege dann, was denn der Hauptnenner sein könnte.
13.08.2013, 13:59	Mate51	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. $\begin{eqnarray} \frac{1}{u}+\frac{u^2+1}{u(u-1)}-\frac{u-1}{u(u+1)}-\frac{4}{(u+1)(u-1)} \end{eqnarray}$ Ist der kgV u(u+1)(u-1) ?
13.08.2013, 14:00	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt.
13.08.2013, 14:09	Mate51	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{u^2+1+u^3-3u}{u(u+1)(u-1)} \end{eqnarray}$ hätte ich dann. Wie soll ich weiter Zusammenfassen, im Zähler lässt sich nichts Ausklammern?
13.08.2013, 14:18	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme im Zähler auf u³+u²-u-1. Kannst das ja noch mal checken und ggf. den Rechenweg aufschreiben.
13.08.2013, 14:30	Mate51	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte ein Vorzeichenfehler. Kommen jetzt auf das gleiche Ergebnis. Wie kann man das jetzt weiter Zusammenfassen?
13.08.2013, 14:35	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Um eine Polynomdivision zu vermeiden kann man noch ein bisschen tricksen: u³+u²-u-1=(u³-u)+(u²-1)=u(u²-1)+(u²-1)=... Jetzt könnte man faktorisieren und kürzen.
13.08.2013, 14:48	Mate51	Auf diesen Beitrag antworten »
mhhh wäre dann bei $\begin{eqnarray} \frac{u(u^2-1)+(u+1)(u-1)}{u(u+1)(u-1)} \end{eqnarray}$ Das Ergbnis soll laut Lösung folgendes sein $\begin{eqnarray} \frac{u+1}{u} \end{eqnarray}$
13.08.2013, 14:50	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst doch bei u(u²-1)+(u²-1) den gemeinsamen Faktor ausklammern, um ein Produkt zu erzeugen.
13.08.2013, 14:53	Mate51	Auf diesen Beitrag antworten »
wäre ja anders geschrieben $\begin{eqnarray} \frac{u(u+1)(u-1)+(u+1)(u-1)}{u(u+1)(u-1)} \end{eqnarray}$ und damit dann $\begin{eqnarray} \frac{u+1}{u} \end{eqnarray}$ Danke für die Hilfe. Ist noch ne menge Arbeit bis zum studienbeginn im Oktober
13.08.2013, 14:55	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe zwar noch keine Faktorisierung im Zähler, aber wenn dir klar ist, wie man drauf kommt, dann ists ja ok.
13.08.2013, 14:56	Mate51	Auf diesen Beitrag antworten »
Meintest du das jetzt so wie ich es gemacht habe?
13.08.2013, 14:58	Mate51	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber kürzen kann ich das doch auch so, wenn die Summer gleich sind? Wüsste jetzt nicht wie ich das Faktorisieren sollte
13.08.2013, 15:02	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorisiert ist der Zähler dann halt (u+1)(u-1)(u+1). Erst dann kann man kürzen.
13.08.2013, 15:11	Mate51	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann absolut nicht nachvollziehen, wie man dadrauf kommt? Und verstehe auch nicht, warum ich das nicht als Summer kürzen kann, wenn doch in jeder Summer das zu Kürzende enthalten ist?
13.08.2013, 15:16	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus Summen bzw Strichrechnungen kann man nicht kürzen, nur aus Produkten bzw Punktrechnungen. Ich habe nur das Distributivgesetz benutzt, also ausgeklammert ----> ab+ac=a(b+c) Der gemeinsame Faktor a ist hier eben u²-1 bzw (u+1)(u-1)
13.08.2013, 15:35	Mate51	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab gerade ein dickes Brett vorm Kopf. Habs jetzt wieder beim Schreiben der Antwort selber gemerkt, also mit dem Faktoriesieren. Man man man Danke dir vielmals!
13.08.2013, 15:43	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht den Mut verlieren. Klingt zwar abgedroschen aber Übung macht den Meister.

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