Einheiten in Q[X]/((x^2+1)(x-1))

13.08.2013, 14:24

steviehawk

Einheiten in Q[X]/((x^2+1)(x-1))

Meine Frage:
Hallo Leute, ich soll Prüfen, ob:

$\begin{eqnarray*} \overline{X}^2 \end{eqnarray*}$ eine Einheit ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]/((x^2+1)(x-1)) \end{eqnarray*}$

Leider habe ich NULL Ahnung, wie ich das mache!

Ich weiß auch nicht so recht, was: $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]/((x^2+1)(x-1)) \end{eqnarray*}$ bedeutet.

Das Polynom: $\begin{eqnarray*} ((x^2+1)(x-1)) \end{eqnarray*}$ ist ja so wie es da steht reduzibel, warum betrachte ich dann diese Körperadjunktion??

Meine Ideen:
In der Lösung machen die einfach:

$\begin{eqnarray*} \overline X^2 \cdot \overline X^2 = \overline 1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$

Dann ist wohl $\begin{eqnarray*} \overline X^2 \end{eqnarray*}$ eine Einheit, da es invertierbar ist, aber warum gilt denn $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$

13.08.2013, 14:34

watcher

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Hallo,

Zitat:

Ich weiß auch nicht so recht, was: $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]/((x^2+1)(x-1)) \end{eqnarray*}$ bedeutet.

Stichwort: Faktorring, ein extrem wichtiges grundlegendes Konzept der Algebra.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (x^2+1)(x-1) \end{eqnarray*}$ (warum hab ich die Klammern weggelassen?)ist ja so wie es da steht reduzibel, warum betrachte ich dann diese Körperadjunktion??

Der Satz ist ein Widerspruch in sich. Da das Polynom reduzibel ist es keine Korperadjunktion, da dann $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]/((x^2+1)(x-1)) \end{eqnarray*}$ kein Körper ist.
(mach dir klar warum das so ist.)

Zitat:

Dann ist wohl $\begin{eqnarray*} \overline X^2 \end{eqnarray*}$ eine Einheit, da es invertierbar ist, aber warum gilt denn $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$

Dass es gilt kann man schlicht nachrechnen.
Um draufzukommen würde ich ans 4.Kreisteilungspolynom und dessen Faktorisierung über den rationalen Zahlen denken.

13.08.2013, 14:50

steviehawk

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Okay, also $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]/((x^2+1)(x-1)) \end{eqnarray*}$ meint den Faktorring, wobei: $\begin{eqnarray*} ((x^2+1)(x-1)) \end{eqnarray*}$ das Ideal meint, was durch das Polynom: $\begin{eqnarray*} (x^2+1)(x-1) \end{eqnarray*}$ erzeugt wird.

Mit Körperadjunktion hat das dann erstmal nichts zu tun!

Es ist doch: $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]/((x^2+1)(x-1)) = \left\{ g + (X^2+1)(X-1) | g \in \mathbb Q[X] \right\} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \overline g := g + (X^2+1)(X-1) \end{eqnarray*}$

Dann ist:

$\begin{eqnarray*} \overline X^2 = X^2 + (X^2+1)(X-1) \end{eqnarray*}$

Mir ist noch nicht klar, wie ich jetzt prüfe ob es eine Einheit ist? Weiß auch nicht wie das beim nachrechnen raus kommt? Kannst du mir das zeigen?

DANKE!!!

EDIT: Ich sehe gerade, wenn ich Polynomdivision mache, also:

$\begin{eqnarray*} X^4 : X^3-X^2+X-1 \end{eqnarray*}$ erhalte ich Rest 1, also ist $\begin{eqnarray*} \overline X^2 \cdot \overline X^2 = \overline 1 \end{eqnarray*}$

aber wenn ich das noch nicht weiß, kann ich ja nicht einfach nachrechnen, wie finde ich es dann raus?

13.08.2013, 15:24

watcher

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Zitat:

Es ist doch: $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]/((x^2+1)(x-1)) = \left\{ g + (X^2+1)(X-1) | g \in \mathbb Q[X] \right\} \end{eqnarray*}$ Und $\begin{eqnarray*} \overline g := g + (X^2+1)(X-1) \end{eqnarray*}$ Dann ist: $\begin{eqnarray*} \overline X^2 = X^2 + (X^2+1)(X-1) \end{eqnarray*}$

Nein.
Es gibt einen massiven Unterschied zwischen dem Polynom $\begin{eqnarray*} (x^2+1)(x-1) \end{eqnarray*}$ und dem vom Polynom erzeugten Ideal $\begin{eqnarray*} ((x^2+1)(x-1)) \end{eqnarray*}$ .
Du schriebst überall das Polynom es muss aber überall das davon erzeugte Ideal stehen.

Zitat:

aber wenn ich das noch nicht weiß, kann ich ja nicht einfach nachrechnen, wie finde ich es dann raus?

So z.B.

Zitat:

Um draufzukommen würde ich ans 4.Kreisteilungspolynom und dessen Faktorisierung über den rationalen Zahlen denken.

13.08.2013, 15:40

steviehawk

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Ok, tut mir Leid, aber ich raff das echt noch nicht sooo traurig

Also das von $\begin{eqnarray*} (X^2+1)(X-1) \in \mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ erzeugte Ideal ist doch:

$\begin{eqnarray*} I = ((X^2+1)(x-1)) = \left\{ g(X^2+1)(X-1) | g \in \mathbb Q[X] \right\} \end{eqnarray*}$

Der Faktorring ist demnach:

$\begin{eqnarray*} R/I = \mathbb Q[X]/ ((X^2+1)(X-1)) = \left\{ a + ((X^2+1)(X-1)) | a \in \mathbb Q[X] \right\} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \overline a = a + ((X^2+1)(X-1)) \end{eqnarray*}$

kann ich dann $\begin{eqnarray*} \overline a = a + (X^2+1)(X-1)g \end{eqnarray*}$ schreiben?

Also Kreisteilungspolynom habe ich noch nicht so drauf, aber wenn es nicht anders geht, muss ich da wohl auch noch durch!!!

Ich dachte ich könnte vielleicht so ansetzen:

$\begin{eqnarray*} \overline X^2 \cdot B = \overline 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B = \overline 1 : \overline X^2 \end{eqnarray*}$ kann man da keine Polynomdivision machen?

13.08.2013, 15:53

watcher

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Zitat:

kann ich dann $\begin{eqnarray*} \overline a = a + (X^2+1)(X-1)g \end{eqnarray*}$ schreiben?

Bis hierhin stimmt alles. Freude

Zitat:

Also Kreisteilungspolynom habe ich noch nicht so drauf, aber wenn es nicht anders geht, muss ich da wohl auch noch durch

Es ist möglich, dass es anders auch geht - ich seh allerdings keinen sinnvollen anderen Weg. Kreisteilungspolynome sind aber generell sehr wichtig (die Aufgabe hier ist mehr ne nette Spielerei) da sie z.B. die einfachsten Beispiele für Galoiserweiterungen liefern.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \overline X^2 \cdot B = \overline 1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B = \overline 1 : \overline X^2 \end{eqnarray*}$ kann man da keine Polynomdivision machen?

Und wie willst du hier Polynom division machen? kennst du $\begin{eqnarray*} X^{-2} \end{eqnarray*}$ ?
Du müsstest hier Polynome B und g finden mit:
$\begin{eqnarray*} X^2B=1+g (X^2+1)(X-1)=1+g(X^3-X^2+X-1) \end{eqnarray*}$
Ich sehe keine Möglichkeit das ohne Raten zu lösen.

13.08.2013, 22:03

micha_L

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Hallo,

Zitat:

Original von watcher
[...]
Du müsstest hier Polynome B und g finden mit:
$\begin{eqnarray*} X^2B=1+g (X^2+1)(X-1)=1+g(X^3-X^2+X-1) \end{eqnarray*}$
Ich sehe keine Möglichkeit das ohne Raten zu lösen.

Ich schon! Immerhin handelt es sich bei $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[x] \end{eqnarray*}$ um einen euklidischen Ring. Da hilft sicher der euklidische Algorithmus.
Wie so oft, wenn es um (multiplikative) Inverse in Restklassenringen geht...

Mfg Michael

14.08.2013, 10:52

steviehawk

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perfekt DANKE!!! Freude

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