Komplexe Nullstelle des Zählers gliech Nullstelle des Nenners?

14.08.2013, 08:04

Schneidermuckla

Komplexe Nullstelle des Zählers gliech Nullstelle des Nenners?

Hallo,

ich muss die Nullstellen des folgenden Terms berechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(u+\sqrt{1+u^2})^{m+1}-(u-\sqrt{1+u^2})^{m+1}}{2\sqrt{1+u^2}} \text{ , mit m gerade} \end{eqnarray*}$ .

Die Nullstellen des Zählers habe ich folgendermaßen berechnet:

$\begin{eqnarray*} &(u+\sqrt{1+u^2})^{m+1}-(u-\sqrt{1+u^2})^{m+1} = 0 &\leftrightarrow \\ &(u+\sqrt{1+u^2})^{m+1} = (u-\sqrt{1+u^2})^{m+1} &\leftrightarrow \\ &u+\sqrt{1+u^2} = u-\sqrt{1+u^2} &\leftrightarrow \\ &2\sqrt{1+u^2} = 0 &\leftrightarrow \\ &1+u^2 = 0 &\leftrightarrow \\ &u = + i \text{ oder } -i \end{eqnarray*}$

Das sind ja nun aber leider auch die Nullstellen des Nenners, sodass es insgesamt keine Nullstellen gibt, oder sehe ich das falsch?

Das Problem ist, dass eigentlich
$\begin{eqnarray*} u = + i cos(\frac{k \pi}{m+1}) \text{ oder } - i cos(\frac{k \pi}{m+1}) \text{ wobei } k=1,\dots,m/2 \end{eqnarray*}$
herauskommen sollte.

14.08.2013, 09:08

HAL 9000

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RE: Komplexe Nullstelle des Zählers gliech Nullstelle des Nenners?

Zitat:

Original von Schneidermuckla
$\begin{eqnarray*} &(u+\sqrt{1+u^2})^{m+1} = (u-\sqrt{1+u^2})^{m+1} &\leftrightarrow \\ &u+\sqrt{1+u^2} = u-\sqrt{1+u^2} \end{eqnarray*}$

Im Komplexen ist das keine Äquivalenz, es gilt hier allenfalls $\begin{eqnarray*} \leftarrow \end{eqnarray*}$ .

Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} && (u+\sqrt{1+u^2})^{m+1} = (u-\sqrt{1+u^2})^{m+1} \leftrightarrow \\ && u+\sqrt{1+u^2} = (u-\sqrt{1+u^2})z\quad \mbox{mit einer komplexen Einheitswurzel $z$ vom Grad $(m+1)$} \end{eqnarray*}$

16.08.2013, 08:00

Schneidermuckla

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RE: Komplexe Nullstelle des Zählers gliech Nullstelle des Nenners?
Oh ja, danke!

Ich habe jetzt das z berücksichtigt:

$\begin{eqnarray*} &u+\sqrt{1+u^2} = (u-\sqrt{1+u^2})z &\leftrightarrow \\ & u = \pm \frac{\sqrt{-z^2-2z-1}}{2\sqrt{z}} \end{eqnarray*}$

Die entsprechenden Einheitswurzeln sind

$\begin{eqnarray*} z = cos(\frac{2t \pi}{m+1}) + i sin(\frac{2t \pi}{m+1}) \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich die einsetze, bekomme ich (bis jetzt):

$\begin{eqnarray*} u = \sqrt{\frac{-1-cos(\frac{2t \pi}{m+1})-i cos(\frac{2t \pi}{m+1})sin(\frac{2t \pi}{m+1}) - i sin (\frac{2t \pi}{m+1})}{2(cos(\frac{2t \pi}{m+1})+i sin (\frac{2t \pi}{m+1}))}} \end{eqnarray*}$

(Das Ergebnis soll sowas sein wie $\begin{eqnarray*} u = + i cos(\frac{k \pi}{m+1}) \text{ oder } - i cos(\frac{k \pi}{m+1}) \end{eqnarray*}$ .)

Sieht jemand, wie ich sinnvoll weiterrechnen kann?
(Bisher habe ich viel gerechnet, aber wenig erreicht. unglücklich

)

16.08.2013, 11:40

HAL 9000

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Mal langsam mit den Pferden. Zunächst folgt aus $\begin{eqnarray*} u+\sqrt{1+u^2} = (u-\sqrt{1+u^2})z \end{eqnarray*}$ durch Umstellung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+u^2}(z+1) = u(z-1) \qquad (*) \end{eqnarray*}$

und Quadrierung (?Obacht, evtl. Scheinlösungen?)

$\begin{eqnarray*} u^2 = -\frac{1}{4}\left( z+2+\frac{1}{z}\right) \end{eqnarray*}$

Setzen wir hier deine richtige Parametrisierung $\begin{eqnarray*} z = \exp\left( \frac{2t \pi}{m+1}i \right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t=0,1,\ldots,m \end{eqnarray*}$ ein, so erhalten wir

$\begin{eqnarray*} u^2 = -\frac{1}{4}\left( \exp\left( \frac{2t \pi}{m+1}i \right) + 2 + \exp\left( -\frac{2t \pi}{m+1}i \right)\right) = -\frac{1}{4}\left( \exp\left( \frac{t \pi}{m+1}i \right) + \exp\left( -\frac{t \pi}{m+1}i \right)\right)^2 \end{eqnarray*}$ ,

d.h. nach Wurzelziehen

$\begin{eqnarray*} u = \pm\frac{i}{2}\left( \exp\left( \frac{t \pi}{m+1}i \right) + \exp\left( -\frac{t \pi}{m+1}i \right)\right) = \pm i\cos\left( \frac{t \pi}{m+1} \right) \end{eqnarray*}$ .

Der Verdacht mit den Scheinlösungen ist natürlich noch zu entkräften, aber das gelingt relativ schnell. Augenzwinkern

19.08.2013, 09:01

Schneidermuckla

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Danke, danke, danke! HAL 9000, du bist super! smile

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