Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge

14.08.2013, 15:02

Algebrafan

Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge

Hallo,

ich möchte die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge zeigen:

Für $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ sei definiert $\begin{eqnarray*} f_n(t) := (sin(t))^{\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} t \in [h,\frac{\pi }{2}] \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0<h\leq \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$

(ich weiß leider nicht, wie ich n-te Wurzel sonst darstellen kann)

Klar ist, dass der Sinus größer als 0 und kleiner-gleich 1 ist , wenn t aus dem obigen Intervall kommt. Für n gegen unendlich geht die n-te Wurzel einer Zahl zwischen 0 und 1 gegen 1. Und die n-te Wurzel von 1 ist 1.

Also ist die Grenzfunktion einfach: $\begin{eqnarray*} f(x)=1 \end{eqnarray*}$ .

Nun habe ich Schwierigkeiten damit, zu zeigen, dass die Funktionenfolge auch gleichmäßig konvergiert ist.

Ich kenne folgende Definitionen der gleichmäßigen Konvergenz:

1) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } sup_{x\in D} | f_n(x)-f(x) | = 0 \end{eqnarray*}$

2) Für Alle $\begin{eqnarray*} E > 0 \end{eqnarray*}$ existiert N_0 aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle n>N_0 gilt: $\begin{eqnarray*} | f_n(x)-f(x) | < E \end{eqnarray*}$ für alle x aus D

Nun weiß ich nicht, wie ich mit Hilfe dieser Definitionen die gleichmäßige Konvergenz zeigen kann.

Ich probiere es mal mit der ersten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } sup_{x\in D} | f_n(x)-f(x) | = \lim_{n \to \infty } sup_{x\in D} | (sin(t))^{\frac{1}{n}} -1 | \end{eqnarray*}$
...

Nun ist das Supremum der Differenz doch (betragsmäßig) 1 oder nicht?

= \lim_{n \to \infty } | -1 |.

Aber damit habe ich doch gerade gleichmäßige Konvergenz widerlegt...

Wäre für Hilfe sehr dankbar

14.08.2013, 15:10

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Zitat:

(ich weiß leider nicht, wie ich n-te Wurzel sonst darstellen kann)

\sqrt[n]{x} liefert $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ich probiere es mal mit der ersten:

Gute Wahl.

Zitat:

Nun ist das Supremum der Differenz doch (betragsmäßig) 1 oder nicht?

Nein, das stimmt nicht, woher nimmst du das?

Du solltest dir klar machen, dass $\begin{eqnarray*} |f_n(t)-1| = |1-\sqrt[n]{sin(t)}| = 1-\sqrt[n]{sin(t)} \leq 1-\sqrt[n]{sin(h)} \end{eqnarray*}$ , da sowohl der Sinus auf $\begin{eqnarray*} [h, \frac{\pi}{2}] \end{eqnarray*}$ als auch die n-te Wurzel monoton wachsende Funktionen sind.

14.08.2013, 15:34

Algebrafan

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, ich habs verstanden.

Grenzübergang liefert dann ja das gewünschte smile

. Dankesehr

Neue Frage »

Antworten »

Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge

Verwandte Themen