Direktes Produkt vs. ? |
| 14.08.2013, 18:23 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Direktes Produkt vs. ? welche Definitionen von direkten Produkten für (assoziative) Algebren (mit Eins) gibt es? Die einzige Definition, die ich kenne, ist diejenige, wo wir die Algebren als Moduln über dem Grundkörper auffassen und dann ein direktes Modulprodukt bilden, was im endlich dimensionalen mit der direkten Summe übereinstimmt. Andererseits kann man das ganze auch kategorisch als direkte Summe in der Kategorie der Moduln auffassen, was auf dasselbe rauslaufen sollte, aber ich kenne mich in der Kategorientheorie nicht aus. Der Hintergrund der Frage ist sehr speziell, aber vielleicht kennt sich damit ja doch jemand genug aus: Es geht um folgendes relativ alte Papier (1949): http://www.ams.org/journals/tran/1949-06...9-0029367-8.pdf Die Stelle, die mich interessiert befindet sich auf Seite 15 und 16 (bzw. 155, 156 paperintern), der Abschnitt beginnt auf Seite 14 unten (Class D). Dort wir die assoziative Algebra zerlegt in ein direktes Produkt von Algebren, die jeweils triviales Zentrum haben. Dann ist eine zentral-einfache Algebra. Später wird dann die Dimension ausgerechnet und hier habe ich das Problem. Das "direkte Produkt" wird unterschieden von der "direkten Summe" - es sollte sich also um etwas anderes handeln, nicht zuletzt weil sonst sicherlich nicht einfach wäre. Ich HÄTTE an dieser Stelle gerne ein Tensorprodukt, dann wäre das ganze eine volle Matrixalgebra mit Zeilen, Jacobson^2 erklären aber, dass es ein Algebra mit Zeilen seien, wie im direkten Summenfall. Das verstehe ich aber überhaupt nicht. Für den Fall m=1,2 kann man sich das ganze noch per Hand anschauen - aber leider ist 2^2=2*2 und 2^1=2*1 und damit bringt mir das nicht viel. Jemand eine Idee? Gruß MI |
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