Was ist das Tolle an Stetigkeit?

14.08.2013, 18:34

Annika15

Was ist das Tolle an Stetigkeit?

Hallo zusammen!

Ich habe im Moment eine Nachhilfe, der ich akutell das Thema Stetigkeit etwas näher gebracht habe. Irgendwie kamen wir dann grundsätzlich darüber ins Gespräch und sie hat mich gefragt: " Was ist eigentlich das Tolle an Stetigkeit"

Ich hab mir meine Gedanken dazu gemacht und find die Frage eigendlich ganz cool.
Deswegen mal ins Forum gefragt:

Was denkt ihr? Was ist eigendlich das Tolle an Stetigkeit?

Gruß, Anni

14.08.2013, 19:11

Dopap

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Stetigkeit ist toll, z.B. wenn Frau Dr. Merkel wieder Bundeskanzlerin wird Big Laugh

14.08.2013, 19:19

adiutor62

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"Stetigkeit ist toll, z.B. wenn Frau Dr. Merkel wieder Bundeskanzlerin wird"

Eine Stetigkeit, die der Steinbrück wohl anders sehen dürfte. Er würde eher von einem Tollhaus "Merkel" sprechen, vermute ich. Augenzwinkern

14.08.2013, 19:24

Annika15

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Ich denke, dass ist dann also wohl eher punktweise als gleichmäßig stetig Teufel

14.08.2013, 19:28

adiutor62

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Beispiel für Nicht-Stetigkeit:

Merkels Atom- und Europapolitik. Wink

14.08.2013, 19:33

Dopap

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Nun, das Tolle ist wohl besser mit dem Besonderen beschrieben. Eben einer der zentralen Begriffe in der Analysis.
Er ist Grundlage anderer Begriffe wie z.B. Differenzierbarkeit.

In Physik ist z.B. der Tagestemperaturverlauf stetig.
Trägt man Wärmemenge gegen Temperatur eines Stoffes auf, kann es zu Unstetigkeiten kommen ( Schmelzen - Verdampfen )

Auch ist der elektrische Widerstand bei Erreichen der Supraleitung unstetig.

Die Zeit ist aber stetig, nur nicht bei Sommer/Wnterzeitumstellung Augenzwinkern

14.08.2013, 19:36

kgV

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Mal ernsthaft: das Tolle an der Stetigkeit ist es, dass sie das Angeben von Ableitungsfunktionen ermöglicht - ansonsten wäre die Suche nach Maxima/Minima etc. ziemlich anstrengend, oder? Augenzwinkern

Außerdem hilft die Stetigkeit dabei, Funktionen schnell und ohne großes Nachdenken zeichnen zu können smile

14.08.2013, 19:38

kgV

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Weitere Beispiele für Unstetigkeit findet man in Italien zuhauf (Berlusconis Politik z.B. weist eine durchschnittliche Änderungsrate von x (mit $\begin{eqnarray*} x\to\pm\infty \end{eqnarray*}$ ) auf) Nur ein Faktor ist in Italien stetig (und wohl auch differenzierbar Augenzwinkern

) : die steigende Staatsverschuldung Big Laugh

14.08.2013, 19:42

Kasen75

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Zitat:

Original von kgV
Mal ernsthaft: das Tolle an der Stetigkeit ist es, dass sie das Angeben von Ableitungsfunktionen ermöglicht - ansonsten wäre die Suche nach Maxima/Minima etc. ziemlich anstrengend, oder? Augenzwinkern

Um mich mal anzuschließen. Auch ermöglicht die Stetigkeit das Integrieren einer Funktion.

14.08.2013, 19:44

Annika15

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Ich für meinen Teil habe ihr versucht zu erklären, dass Stetigkeit halt keine wie in der Schule gelernte "Bleistifft durchzeichnen" Eigenschaft ist, sondern und im speziellen halt punktweise definiert ist und daraus ein extrem interessanter Blickwinkel entsteht.
Das finde ich übrigends toll an der Stetigkeit selbst. Was die Nützlichkeit angeht habe ich dann z.B. von stetigen Abbildungen auf kompakten Intervallen gesprochen.

14.08.2013, 19:46

Bjoern1982

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Ihr könnt ja auch kurz das Wort "cool" etwas weitläufiger definieren und dann mal ein paar indirekte Beweise zur Behauptung "Steigkeit ist cool" angeben.
Also angenommen Stetigkeit wäre nicht cool, dann... Augenzwinkern

14.08.2013, 19:47

Guppi12

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Zitat:

das Tolle an der Stetigkeit ist es, dass sie das Angeben von Ableitungsfunktionen ermöglicht

Naja, da verwechselst du aber Stetigkeit mit Differenzierbarkeit Augenzwinkern

Man hat verdammt viele schöne Eigenschaften von stetigen Funktionen. Das Verhalten solcher Funktionen auf Kompakta (das du ja auch schon erwähnt hast) ist ja nur eine davon.

14.08.2013, 19:48

HAL 9000

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Das Tolle an Stetigkeit? Man betrachte mal die Lösungen der Cauchyschen Funktionalgleichung $\begin{eqnarray*} f(x+y) = f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$ mal mit und mal ohne Stetigkeitsvoraussetzung an $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

14.08.2013, 19:53

Dopap

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@kgv: aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit. Nicht umgekehrt.

@Kasen75: Stetigkeit ist doch nicht notwendige Bedingung für Integrierbarkeit ?

14.08.2013, 19:54

Guppi12

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Zitat:

@Kasen75: Stetigkeit ist doch nich engelt notwendige Bedingung für Integrierbarkeit ?

Das macht seine Aussage aber nicht falsch Engel

14.08.2013, 20:05

Dopap

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Sorry, aber die Aussage ist so zu verstehen.

14.08.2013, 20:05

kgV

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@ all: streng definitorisch genommen habt ihr recht... aber versucht mal, eine Ableitung an einem Punkt ohne Die Voraussetzung, dass f stetig ist, anzugeben Augenzwinkern

Wenn ich mich richtig entsinne, ist Stetigkeit doch eine Voraussetzung für Differenzierbarkeit, oder nicht? Engel

14.08.2013, 20:09

Guppi12

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@Dopap: Ich wollte mich nicht streiten, nur Spaß machen Augenzwinkern

14.08.2013, 20:10

Dopap

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Zitat:

Original von Dopap
[...]
Er ist Grundlage anderer Begriffe wie z.B. Differenzierbarkeit.
[...]

sagte ich schon.

14.08.2013, 20:19

kgV

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War auch nur im Spaß gesagt... smile

14.08.2013, 20:31

Che Netzer

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Zitat:

Original von Dopap
Die Zeit ist aber stetig, nur nicht bei Sommer/Wnterzeitumstellung Augenzwinkern

Ganz streng genommen ist die Realtität ja diskret. Der Raum, wenn man Elementarteilchen betrachtet, und die Zeit, wenn man die Planck-Zeit betrachtet.

Für die Integrationstheorie ist Stetigkeit eigentlich völlig egal, wenn man es richtig anstellt.

Das tollste an der Stetigkeit ist ja aber eigentlich, dass man stetige Funktionen und Grenzwerte vertauschen kann.

Zur Differenzierbarkeit:
Die Abbildung
$\begin{eqnarray*} \mathbb R^2\to\mathbb R\,,\ (x,y)\mapsto\begin{cases}1&\text{falls}\ y=x^2\neq0\\0&\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$
ist im Nullpunkt Gâteaux-differenzierbar, aber nicht stetig Teufel

14.08.2013, 20:34

Guppi12

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Ich denke dabei immer an Hmm. Kuchen-differenzierbar Big Laugh

14.08.2013, 20:50

Dopap

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Zitat:

Original von Che Netzer
Ganz streng genommen ist die Realtität ja diskret. Der Raum, wenn man Elementarteilchen betrachtet, und die Zeit, wenn man die Planck-Zeit betrachtet.

Stimmt, so weit wollte ich nicht gehen.
Studierst du auch noch Physik ?

14.08.2013, 20:50

kgV

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Kuchen
1. Wenn Kuchen differenzierbar ist, dann ist Kuchen auch stetig

2. Das einzige Stetige, das mir zu Kuchen einfällt, ist, dass stetig weniger da ist

3. Daraus folgt, dass die erste Ableitung von Kuchen durchgängig negativ ist

4. Das wäre der Fall, wenn sie konstant wäre - ist sie aber nicht: am Anfang wird eine große Menge vertilgt, danach wird es weniger, weil immer mehr satt sind

5. Also bleibt nur eine mögliche Funktion übrig: $\begin{eqnarray*} Kuchen'(t)=-a^x-1 \end{eqnarray*}$ , weil als Definitionsmenge ohnehin nur die positiven reellen Zahlen in Betracht kommen - was soll denn bitte negativer Kuchen sein?

6. Wir integrieren die Ableitung, um an die Kuchen-Funktion zu kommen: $\begin{eqnarray*} Kuchen(t) = \int Kuchen'(t)=-\frac{a^x}{\ln a}-x+C \end{eqnarray*}$

7. Damit ist Kuchen nun eindeutig bestimmt^^. Ich wünsche guten Appetit.

PS. Spaßiger Tag heute

14.08.2013, 20:57

Che Netzer

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@Guppi12:
Und Poisson und Leibniz(-Kekse) gibt es ja auch noch. Als ich zum ersten Mal von der Picard-Gruppe gehört hatte, musste ich auch erst an die Star-Trek-Crew denken.

Und neben den Namen "Leonidas Alaoglu" und "Hartogs" (das klingt irgendwie wie ein Ork-Name) gefallen mir auch die Sätze von Arzelá-Ascoli, Scorza-Dragoni und Gurarii-Gurarii.

Schlimm zu schreiben ist Schmulian/Schmuljan/Schmulyan/Shmulian/Shmuljan/Shmulyan/ $\begin{align*} \text{\v S} \end{align*}$ mulian/ $\begin{align*} \text{\v S} \end{align*}$ muljan/ $\begin{align*} \text{\v S} \end{align*}$ mulyan. Ich habe mich übrigens für die Schreibweise $\begin{align*} \text{\v S} \end{align*}$ mulian entschieden...

@Dopap:
Naja, ich hatte theoretische Physik als Nebenfach, war aber nicht sehr aufmerksam, da mir zu viel gerechnet wurde und alle Vorlesungen um 8 Uhr morgens stattfanden unglücklich

Ich werde mich aber irgendwann nochmal ohne Hausaufgaben-Rechnerei damit beschäftigen.

@kgV:
Machst du es dir da nicht ein bisschen zu einfach?
Wenn man bedenkt, dass auch neue Kuchen produziert werden und neue Menschen hinzukommen, die noch nicht gesättigt sind, und die Sättigung (?) der anderen wieder nachlässt, müsste man erstmal eine Kuchen-DGL aufstellen.
Interessant wären dann das asymptotische Verhalten bzw. Gleichgewichtspunkte.
Ich fürchte aber, dass die Kuchen-DGL weder linear noch autonom werden würde unglücklich

Und wieso hast du Kuchen "eindeutig" bestimmt, wenn du noch eine Integrationskonstante drin hast? Und die Wertemenge sollte keine negativen Zahlen enthalten; der Definitionsbereich sollte ein Intervall der Form $\begin{eqnarray*} [t_0,\infty) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} [t_0,T) \end{eqnarray*}$ sein – je nachdem, ob es einen Kuchen-Blow-Up geben wird. (was ein tolles Ereignis wäre Big Laugh

)

14.08.2013, 21:07

kgV

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8. Interessant wäre noch, ab wann kein Kuchen mehr da ist: also setzen wir $\begin{eqnarray*} Kuchen(t)=0 \end{eqnarray*}$ und erhalten $\begin{eqnarray*} \frac{a^x}{\ln a} +x=0 \end{eqnarray*}$ , was wir z.B. mittels Newton approximieren müssen - aber dazu habe ich gerade zu viel Kuchen intus Big Laugh

edit: der Punkt liegt irgendwie im negativen... was solls, essen wir noch ein Stück Kuchen über den Frust und dann ist endgültig Schluss mit dem Unsinn.

@ Che: Die DGL überlasse ich dann mal dir, ich kriege bis jetzt nur einfache Exemplare gebacken^^

14.08.2013, 21:25

Che Netzer

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Hm...
Wenn man die Kuchen-Dichte weltweit beschreiben möchte, dann brauchen wir neben dem Zeit-Parameter noch ein Argument aus der Einheitskugel $\begin{eqnarray*} \mathbb S^2 \end{eqnarray*}$ , welche die Erde darstellen sollte.
D.h. wir suchen eine Funktion $\begin{eqnarray*} K\colon\mathbb S^2\times[0,T)\to[0,\infty) \end{eqnarray*}$ .

Wenn man dann allein von der Kuchen-Verteilung durch Transport/Handel ausgeht, könnte man die Wärmeleitungsgleichung als Ansatz nehmen, also $\begin{eqnarray*} K'+\Delta K=0 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ hier natürlich den Laplace-Beltrami-Operator auf der Kugel $\begin{eqnarray*} \mathbb S^2 \end{eqnarray*}$ bezeichnet.
Wenn wir noch betrachten wollen, dass in einige Richtungen stärker Kuchentransport erfolgt als in andere, könnten wir das einfach in der intrinsischen Geometrie der Mannigfaltigkeit verstecken, d.h. wir wählen eine Riemannsche Metrik so, dass die Krümmung so ist, wie wir sie haben wollen. Ändert die Gestalt der DGL ja nicht.
Die neue Mannigfaltigkeit nenne ich mal $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ; wir behalten im Hinterkopf, dass wir sie auf natürliche Weise mit $\begin{eqnarray*} \mathbb S^2 \end{eqnarray*}$ identifizieren können, auch wenn sie eine neue Metrik trägt. Bisher haben wir also
$\begin{eqnarray*} K'+\Delta_MK=0\,. \end{eqnarray*}$
Jetzt müsste man noch Verzehr und Produktion von Kuchen berücksichtigen und eine Anfangsbedingung stellen verwirrt

14.08.2013, 21:44

kgV

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Der Einfachheit halber kann man von der (nicht gänzlich unwahren) Aussage Verzehr = Produktion ausgehen

Als Anfangsbedingung könnte ja die durchschnittliche Produktion an Kuchen herhalten, oder nicht?. Das wäre dann $\begin{eqnarray*} K(0)=\varnothing Kuchen \end{eqnarray*}$ , wobei der Mittelwert mittels Integral bestimmt, also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-t_0}\int^1_{t_0}K(t) \end{eqnarray*}$
Die Obergrenze 1 bezeichnet hierbei das Jahr, also muss $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ , falls in Tagen angegeben, noch durch 365 dividiert werden.

Damit hätten wir als Anfangsbedingung: $\begin{eqnarray*} K(0)=\frac{1}{1-t_0}\int^1_{t_0}K(t) \end{eqnarray*}$

Genügt dir das?

14.08.2013, 21:51

Che Netzer

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Dann würde ja aber die gesuchte Funktion in der Anfangsbedingung vorkommen.
Wir könnten z.B. die Kuchendichte $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ zu genau diesem Zeitpunkt (jetzt!) wählen und dann $\begin{eqnarray*} K(\cdot\,,t_0)=K_0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ fordern. Oder wir Wählen einige "Kuchenstandorte" $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ und platzieren dort Kuchenmengen $\begin{eqnarray*} K_i \end{eqnarray*}$ . Zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ soll $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ also gerade $\begin{eqnarray*} \sum K_i\delta_{x_i} \end{eqnarray*}$ sein.
Dann ist die Kuchenfunktion übrigens nicht mehr differenzierbar zum Startzeitpunkt Augenzwinkern

Aber auf Intervallen $\begin{eqnarray*} (t_0+\varepsilon,T) \end{eqnarray*}$ dürfte sie glatt sein.

14.08.2013, 22:01

kgV

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Das wird mir zu hoch - ich gebe auf und gehe Kuchen essen smile

15.08.2013, 02:25

Dopap

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ja, das erinnert doch stark an Dr. Dr. Sheldon Cooper Big Laugh

Trotzdem: ist das Homotopie-theorie (?) oder zu was gehören die Ausführungen von Che ?

15.08.2013, 09:39

Che Netzer

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Anfangs ging es ein wenig um Differentialgleichungen (Stabilität, Gleichgewichtspunkte).
In meinem vorletzten beitrag ging es dann mit Differentialgeometrie los (Mannigfaltigkeiten, Laplace-Beltrami-Operator); insbesondere Riemannsche Geometrie (Riemannsche Metrik)
Man könnte das auch "Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten" nennen (wobei ich von den einzelnen Gebieten mehr weiß). Und am Ende ging es dann wieder zurück zu Differentialgleichungen (ein wenig Regularität); wobei die Startverteilung eine Distribution ist.

Topologie bzw. Homotopie kann man hier wohl nicht einbringen. Man könnte zwar die Kuchen-Transportrouten durch Kurven beschreiben, aber dann interessiert man sich ja für genau diese Kurve und keine zu ihr homotopen Kurven.

16.08.2013, 17:45

Annika15

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Ich denke, dass ich die Kuchentheorie wohl eher nicht anschneiden werde :-D Aber sehr lustig!

17.08.2013, 10:17

Elvis

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Das tolle an "Stetigkeit" ist der Begriff selbst, wie immer bei mathematischen Begriffen. Sind X und Y topologische Räume, dann heißt eine Funktion f:X->Y stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge in Y offen in X ist. Eine bijektive beiderseits stetige Funktion zwischen topologischen Räumen heißt homöomorph oder Homöomorphismus. Homöomorphismen sind genau die Abbildungen, mit denen sich topologische Räume untersuchen lassen.
Genau so wie lineare Abbildungen die Grundstrukturen von Vektorräumen erhalten, so erhalten stetige Abbildungen die Grundstrukturen von topologischen Räumen, Homomorphismen die Grundstrukturen von Gruppen, Ringen, Körpern, etc. pp. Dieses Prinzip lässt sich verallgemeinern : für jede Kategorie von Räumen gibt es die dazu passenden strukturerhaltenden Abbildungen.
Beispiele siehe auch hier : http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit

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