Schnitt der clopen sets ist Gruppe

14.08.2013, 22:40

mathinitus

Schnitt der clopen sets ist Gruppe

Hallo Leute,

ich habe eine topologische Gruppe G. Nun soll ich zeigen, dass der Schnitt aller clopen sets, die die 1 enthalten, eine Untergruppe ist. Nennen wir diesen Schnitt mal H. Leicht ist einzusehen, dass $\begin{eqnarray*} H=H^{-1} \end{eqnarray*}$ . Aber irgendwie bekomme ich es nicht hin, $\begin{eqnarray*} HH\subseteq H \end{eqnarray*}$ zu zeigen. Könnt ihr mir helfen? Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar!

Danke!

18.08.2013, 15:49

Che Netzer

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Wenn du ein Element aus $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ an eine offene und abgeschlossene Menge multiplizierst, ist das Ergebnis doch immer noch offen und abgschlossen. D.h. $\begin{eqnarray*} gH=H \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ .

18.08.2013, 20:37

mathinitus

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Zitat:

Original von Che Netzer
Wenn du ein Element aus $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ an eine offene und abgeschlossene Menge multiplizierst, ist das Ergebnis doch immer noch offen und abgschlossen. D.h. $\begin{eqnarray*} gH=H \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ .

Und warum ist H offen?

18.08.2013, 21:24

Che Netzer

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So direkt war die Folgerung nicht.
Mit $\begin{eqnarray*} H=\bigcap_{i\in I}H_i \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} H_i \end{eqnarray*}$ die offenen und abgeschlossenen Mengen mit Eins seien, ist jeweils $\begin{eqnarray*} gH_i=H_j \end{eqnarray*}$ für irgendein $\begin{eqnarray*} j\in I \end{eqnarray*}$ .
Außerdem gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} j\in I \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} gH_i=H_j \end{eqnarray*}$ .
Also
$\begin{eqnarray*} gH=\dotso=H\,. \end{eqnarray*}$

18.08.2013, 21:28

mathinitus

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Du hast oben geschrieben für alle $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ . Du meinst sicherlich nur $\begin{eqnarray*} g\in H \end{eqnarray*}$ oder?

Danke auf jeden Fall für die Lösung!

18.08.2013, 21:35

Che Netzer

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Naja, man braucht die Aussage nur für $\begin{eqnarray*} g\in H \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ klappt es aber auch noch.

18.08.2013, 21:39

mathinitus

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Zitat:

Original von Che Netzer
Naja, man braucht die Aussage nur für $\begin{eqnarray*} g\in H \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ klappt es aber auch noch.

Das mit Sicherheit nicht. Nimm eine Gruppe mit mehr als einem Element und die diskrete Topologie. Dann ist H trivial aber sicherlich nicht mehr gH für $\begin{eqnarray*} g\ne 1 \end{eqnarray*}$ .

18.08.2013, 21:45

Che Netzer

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Stimmt; ich hatte übersehen, dass die $\begin{eqnarray*} H_i \end{eqnarray*}$ die Eins enthalten sollen Ups

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