Primfaktorzerlegung teilt nicht Fakultät

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15.08.2013, 09:22	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Primfaktorzerlegung teilt nicht Fakultät Meine Frage: Hallo Leute, ich habe bei einer Aufgabe folgendes gelesen, was ich noch nicht ganz verstehe: $\begin{eqnarray} 2 \cdot 5^{31} \cdot 7^{19} \nmid 23! \end{eqnarray}$ woran liegt das denn genau? Wann ist eine Fakultät teilbar? Meine Ideen: Also ich weiß, dass für Primzahlen gilt: Sei $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ prim dann gilt: $\begin{eqnarray} p \| ab \Rightarrow p \| a \vee p \| b \end{eqnarray}$ Gibt es eine solche "Regel" auch für das Produkt zweier oder dreier Primzahlen? Danke für die Hilfe!!! EDIT: Habe mir gerade noch ein Mal das Lemma von Euklid angesehen. Es besagt ja, dass für eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} n \| ab \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n \nmid a \Rightarrow n \| b \end{eqnarray}$ Auf Wikipedia steht dabei, dass falls $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ in Primfaktorenzerlegt ist, gilt es für jeden seiner Faktoren. Würde heißen: z.B. $\begin{eqnarray} n = pq \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} p,q \end{eqnarray}$ prim sind. Dann: $\begin{eqnarray} n \| ab \Leftrightarrow pq \| ab \end{eqnarray}$ Dann folgt aus dem Lemma von Euklid, dass: $\begin{eqnarray} p \| a \vee p \| b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q \| a \vee q \| b \end{eqnarray}$ das kann ich für beliebige Faktoren so weiter machen oder? In meiner Aufgabe, die ich oben erwähnt habe habe ich dann: $\begin{eqnarray} 2 \cdot 5^{31} \cdot 7^{19} \| 23! \end{eqnarray}$ das kann ich schreiben als: $\begin{eqnarray} 2 \cdot 5^{31} \cdot 7^{19} \| 23 (22)! \end{eqnarray}$ Zum Beispiel ist dann: $\begin{eqnarray} 5 \nmid 23 \end{eqnarray}$ . Aber 5 könnte doch noch $\begin{eqnarray} (22)! \end{eqnarray}$ Fakultät teilen oder? Wann sind denn Fakultäten teilbar?
15.08.2013, 09:40	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
in welcher Potenz ist denn z.B. 7 in 23! enthalten?
15.08.2013, 09:51	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
mit Potenz 1. $\begin{eqnarray} 23! = 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 ... \cdot 7 \cdot 6 ... \cdot 1 \end{eqnarray}$ kommt nur ein mal vor. Hab ich dich richtig verstanden?
15.08.2013, 09:59	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
naja, etwas mehr schon aber ....
15.08.2013, 10:06	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht was du meinst, kannst du vielleicht etwa ausführlicher antworten?
15.08.2013, 10:18	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
7,14,21 sind die Faktoren in 23! die 7 enthalten, also ist 23! nicht durch 7^19 teilbar, also erst recht nicht ...
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15.08.2013, 10:31	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh ich schreibe also in der Fakultät die 14 als 27 und die 21 als 37 dann kommt 7 mit der Potenz 3 vor. dann gilt also: $\begin{eqnarray} 7^3 \| 23! \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} 7^{19} \nmid 23! \end{eqnarray}$ und erst recht nicht? $\begin{eqnarray} 22! \end{eqnarray}$ Oder ist es jetzt so, dass weil $\begin{eqnarray} 7^19 \nmid 23! \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} 2 \cdot 5^{31} \cdot 7 ^{19} \nmid 23! \end{eqnarray}$
15.08.2013, 10:37	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
erst recht nicht ist 25^317^19 Teiler von 23! q.e.d.
15.08.2013, 10:38	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt, wenn ein Produkt eine Zahl teilt, dann muss jedes der Faktoren diese Zahl teilen?
15.08.2013, 10:39	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »

15.08.2013, 10:41	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhhhhh das war mir nicht bewusst!!!
15.08.2013, 10:43	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
gibts dafür einen Beweis irgendwo?
15.08.2013, 10:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Etwas vertiefend: Man kann genau ausrechnen, wie oft Primfaktor $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} n! \end{eqnarray}$ auftaucht. Wenn man sich nicht gerade mit der in dieser Formel auftauchenden $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ -adischen Zifferndarstellung von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ rumschlagen will, so liefert die Abschätzung $\begin{eqnarray} e_p(n!) \leq \frac{n-1}{p-1} \end{eqnarray}$ zumindest die hinreichende Aussage, dass $\begin{eqnarray} p^m \nmid n! \end{eqnarray}$ garantiert für alle $\begin{eqnarray} m\geq \frac{n}{p-1} \end{eqnarray}$ gilt. Im vorliegenden Fall greift dieses Kriterium für $\begin{eqnarray} n=23,p=7 \end{eqnarray}$ mit dann $\begin{eqnarray} \frac{n}{p-1}\approx 3.83 \end{eqnarray}$ , d.h. es ist bereits $\begin{eqnarray} 7^4 \nmid 23! \end{eqnarray}$ , wie durch Einzelrechnung oben ja auch schon erkannt.
15.08.2013, 11:04	alterHund	Auf diesen Beitrag antworten »
genau ist $\begin{eqnarray} e_p(n!) = \lfloor \frac{n}{p} \rfloor +\lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor+\lfloor \frac{n}{p^3} \rfloor ... \end{eqnarray}$

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