Schnitt von Sylow Untergruppen |
15.08.2013, 11:55 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Schnitt von Sylow Untergruppen Hallo Leute, ich habe eine Frage zu Sylow - Untergruppen. Ich habe eine Gruppe mit und sind prim und Zudem ist Ich habe auch schon raus gefunden, dass je eine p - Sylow - Untergruppe und eine q - Sylow - Untergruppe gibt. Diese sind also auch Normalteiler. Ich nenne sie mal Ich weiß auch, dass die beiden zyklisch sind, da sie Primzahlordnung haben und damit sind sie auch abelsch.. soweit so gut Ich weiß auch, dass wenn beim Produkt zweier Untergruppen eine der beiden Untergruppen ein Normalteiler ist, dass das Produkt dann wieder eine Utergruppe ist, also: Jetzt steht in der Lösung dabei, dass ist. Woran liegt das genau? Meine Ideen: Ich habe 3 Möglichkeiten woran es liegen könnte: 1) Das ist immer so bei Sylow - Untergruppen 2) Das ist immer so bei Normalteilern 3) Das ist immer so bei zyklischen Gruppen Danke für die Hilfe!! EDIT: Also ich konnte folgendes beweisen: Zwei Sylow - Untergruppen, zu verschiedenen Primzahlen haben trivialen Schnitt. Beweis: Sei dann existieren , so dass und wobei die erzeugenden Elemente der zyklischen Gruppen sind. Es gilt dann: dann folgt: Widerpsruch! Also muss sein. |
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15.08.2013, 12:10 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Na überleg mal, was für Elemente in gelten muss, wenn . |
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15.08.2013, 12:18 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
schau mal meinen Edit an hoffe mal das passt. Im Allgmeinen haben zwei Untergruppen mit teilerfremder Ordnung einen trivialen Schnitt.. Jetzt verstehe ich aber folgendes nicht: In einer anderen Aufgabe war: Hier bekommt man für die Menge der 7 - Sylow - Untergruppen =: : also: Der Prof. hat dann auch hin geschrieben: für Das verstehe ich jetzt nicht, denn es gilt ja: ich bekomme also nicht wieder den Widerspruch, den ich in meinem Beweis hatte. |
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15.08.2013, 12:40 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Dein Beweis ist problematisch. Sylowgruppen müssen nicht zyklisch sein, vgl. etwa . Ganz allgemein gilt: wenn Sylow-Untergruppen zu unterschiedlichen Primzahlen sind, dann teilt sowohl als auch , also . Edit:
Du weißt, dass es acht verschiedene gibt und kennst die Mächtigkeit je einer 7-Sylowuntergruppe. Welche Möglichkeiten gibt es dann für , ? |
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15.08.2013, 12:45 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Gerade fällt es mir in die Hand, Lagrange hilft also weiter! Und was ist mit dem zweiten Beispiel? Da habe ich ja Sylow - Untergruppen zur gleichen Primzahl. |
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15.08.2013, 13:55 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich weiß, dass der Schnitt von Zwei Untergruppen wieder eine Untergruppe ist. Ist denn und Oder ist nur ?? |
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15.08.2013, 14:27 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja... |
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15.08.2013, 14:40 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ahh okay, das war mir nicht bewusst! Dann also Ich kenne aber alle Gruppen der Ordnung 7 bereits (das sind gerade meine 8 Sylow - Untergruppen, oder kann es da noch mehr geben?? ) Also kann nur sein und so: |
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15.08.2013, 14:49 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das folgt aus der Definition des Schnitts...
Nein, das lieferte doch per Definition weitere 7-Sylowuntergruppen.
Ja, aber Deine Formulierung zur Begründung ist da auch noch zu indirekt:
Aus für folgt direkt und das kann eben nicht sein. |
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15.08.2013, 14:56 | steviehawk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Gut, dann habe ich das jetzt endlich mal |
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