zentraler Differenzenquotient 3. Ordnung

15.08.2013, 12:13	Lucas1234	Auf diesen Beitrag antworten »
zentraler Differenzenquotient 3. Ordnung Meine Frage: Hallo! Ist es möglich den zentralen Differenzenquotienten der 3. Ableitung zur Schrittweite h einfach anzugeben? Wie lautet dieser? Finde in der Literatur nur die Formel für den der zweiten Ableitung: $\begin{eqnarray} y''(x)= \frac{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h²} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zur 3. Ableitung finde ich folgenden Ansatz: $\begin{eqnarray} y'''(x)= 3!\left[x-2h,x-h,x+h,x+2h\right]y \end{eqnarray}$ Hilft mir jetzt aber grade nicht wirklich weiter. Ich vermute mal, dass jetzt eine Taylorentwicklung folgt. Darf ich dazu sagen, dass ich kein Mathematiker bin und den ganzen Kram nicht herleiten muss? Ein fertiges Ergebnis (sofern möglich) würde mir schon reichen LG Lucas
15.08.2013, 13:15	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zentraler Differenzenquotient 3. Ordnung Der zentrale Differentenquotient wird folgendermaßen gebildet. Im Folgenden benutze ich $\begin{eqnarray} y_k=f(x+k\cdot h) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_D \end{eqnarray}$ für die Näherung durch einen Differenzenquotienten. Es gilt $\begin{eqnarray} y_{D0}' = \frac{y_1-y_{-1}}{2h} \end{eqnarray}$ und A) $\begin{eqnarray} y_{D0}'' = \frac{y_1-2y_0+y_{-1}}{h^2} \end{eqnarray}$ damit ergibt sich $\begin{eqnarray} y_{D0}''' = \frac{y_{D1}''-y_{D(-1)}''}{2h} \end{eqnarray}$ Wenn du darin die Näherungsformeln von A) an den Stellen 1 und (-1) einsetzt und zusammenfasst, ergibt sich die dritte Ableitung. Allgemeine Differenzenqutienten erhält man über die Taylorentwicklungen von $\begin{eqnarray} y_k=f(x+k\cdot h) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k\in[-n,1,n] \end{eqnarray}$ , dabei ist n so groß zu wählen, dass die gewünschte Ableitung $\begin{eqnarray} y^{(m)} \end{eqnarray}$ approximiert werden kann, in dem man die erwähnten Taylorentwicklungen nach dieser Ableitung auflöst. Diese Auflösungen $\begin{eqnarray} A^{(m)}_k \end{eqnarray}$ sind Potenzreihen und werden dann gewichtet summiert $\begin{eqnarray} S=\sum_{k=-n}^{n}a_k\cdot A^{(m)}_k \end{eqnarray}$ . Die Gewichte $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ werden so bestimmt, dass möglichst viele kleinere Potenzen entfallen, da der erste nichtentfallende Term der Taylorentwicklung zur Fehlerabschätzung zwischen exakter Ableitung und deren Differenzenquotient genutzt werden kann.

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