Stetigkeit (habe ich noch nie gemocht)

15.08.2013, 14:01

laienstefan

Stetigkeit (habe ich noch nie gemocht)

Ich war mir ziemlich sicher, dass die bedingung für Stetigkeit eine der folgenden war:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } f(X_k) = f (\lim_{k \to \infty } X_k) = f ( X_0) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty +} f(X_k) = \lim_{k \to \infty -} f(X_k) = f ( X_0) \end{eqnarray*}$

Dann kann ich mir folgendes jedoch überhaupt nicht erklären:

[attach]31213[/attach]

Die Voraussetzung für Stetigkeit wäre hier doch, dass der jeweils obere Ausdruck für

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0} x \end{eqnarray*}$

den Funktionswert 0 annimmt, richtig? Wenn ich aber x und y gegen 0 laufen lasse, nähert sich das alles 0/0 an. Wäre wohl ein Fall für lÄHospital, aber ich weiß nicht, wie man damit bei zwei Veränderlichen umgeht...
Wer kann helfen?

15.08.2013, 14:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von laienstefan
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } f(X_k) = f (\lim_{k \to \infty } X_k) = f ( X_0) \end{eqnarray*}$

Formeln allein sind nichts wert, wenn der Kontext nicht verstanden wurde. Wenn das die Bedingung für Stetigkeit der Funktion im Punkt $\begin{eqnarray*} X_0 \end{eqnarray*}$ sein soll, dann fehlt hier der entscheidende Zusatz

Zitat:

... für jede Folge $\begin{eqnarray*} (X_k) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} X_k = X_0 \end{eqnarray*}$

15.08.2013, 19:04

micha_L

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RE: Stetigkeit habe ich noch nie gemocht
Hallo,

beim ersten Beispiel hilft die +Anwendung von Polarkoordinaten!

Beim zweiten gibt es eine Richtung, entlang der alle Funktionswerte ungleich Null sind und auch nicht dagegen streben. Welche Richtung das ist, musst du selbst herausfinden.

Mfg Michael

16.08.2013, 15:50

laienstefan

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Hallo,

vielen Dank, ihr beiden! Freude

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von laienstefan
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } f(X_k) = f (\lim_{k \to \infty } X_k) = f ( X_0) \end{eqnarray*}$

Zitat:

... für jede Folge $\begin{eqnarray*} (X_k) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} X_k = X_0 \end{eqnarray*}$

Da hast du in der Tat recht, denn ich verstehe schon nicht, inwiefern die drei Ausdrücke äuivalent sein sollen:
- Der erste beschreibt aus meiner Sicht das Szenario, dass ich von außen auf eine Funktionsschar (eben eine Funktion für jedes Argument x, welches wiederum durch einen Parameter k bestimmt wurde) gucke und mir die mit dem größten k raussuche, dann betrachte ich ja aber eine ganze Funktion...
- Beim zweiten würde ich betrachten, welchen Wert das Argument X für k gegen Unendlich annimmt und für dieses Argument soll jetzt das Bild gleich den beiden anderen Ausdrücken sein. Hier erhalte ich also nur einen (Grenz-)Fert anstatt einer (Grenz-)Funktion wie im ersten Punkt
- Der dritte Ausdruck wäre dann wohl der Funktionswert bei einem Argument für einen festgelegten Parameter (der Name X_0 würde auf 0 tippen lassen, aber das kann ja nicht so recht stimmen)

Der von dir hingefügte Zusatz stand natürlich auch dabei, sorry!

Zitat:

Original von micha_L
beim ersten Beispiel hilft die +Anwendung von Polarkoordinaten!

Jetzt zu dir, Michael Wink

Polarkordinaten sagen mir nur bei komplexen Zahlen etwas -.-

Zitat:

Original von micha_L
Beim zweiten gibt es eine Richtung, entlang der alle Funktionswerte ungleich Null sind und auch nicht dagegen streben. Welche Richtung das ist, musst du selbst herausfinden.

Ich glaube es macht für mich keinen Sinn, mich schon hiermit zu befassen, wenn ich die Basics noch nicht verstanden habe.... Hammer

17.08.2013, 19:09

laienstefan

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Zitat:

Original von laienstefan
inwiefern die drei Ausdrücke äuivalent sein sollen:
- Der erste beschreibt aus meiner Sicht das Szenario, dass ich von außen auf eine Funktionsschar (eben eine Funktion für jedes Argument x, welches wiederum durch einen Parameter k bestimmt wurde) gucke und mir die mit dem größten k raussuche, dann betrachte ich ja aber eine ganze Funktion...
- Beim zweiten würde ich betrachten, welchen Wert das Argument X für k gegen Unendlich annimmt und für dieses Argument soll jetzt das Bild gleich den beiden anderen Ausdrücken sein. Hier erhalte ich also nur einen (Grenz-)Fert anstatt einer (Grenz-)Funktion wie im ersten Punkt
- Der dritte Ausdruck wäre dann wohl der Funktionswert bei einem Argument für einen festgelegten Parameter (der Name X_0 würde auf 0 tippen lassen, aber das kann ja nicht so recht stimmen)

Kann mir hier jemand weiterhelfen? Ich denke, das würde schon das größte Problem klären.

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