Konvergenz Partialsummenfolge

15.08.2013, 14:56

bijektion

Konvergenz Partialsummenfolge

Meine Frage:
Hallo, folgende Aufgabe möchte ich lösen:

Sei $\begin{eqnarray*} (a_k)_{k \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge mit $\begin{eqnarray*} a=\lim_{n \to \infty} a_k \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} s_n=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n a_k \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} (s_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergiert und $\begin{eqnarray*} a=\lim_{n \to \infty} s_n \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Die Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n a_k \end{eqnarray*}$ kann nur konvergieren, wenn $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist. In diesem Fall wäre $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_k =0 \end{eqnarray*}$ und G sei der Grenzwert $\begin{eqnarray*} G=\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge nach den Grenzwertsätzen. Aber was mache ich wenn $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ ist? Dann divergiert die Summe und ich weiß nicht wie ich irgendetwas sinnvolles erhalten könnte..

EDIT: Wenn ich $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{a_k}{n+1} \end{eqnarray*}$ umforme, dann muss die Summe für beliebig große n doch eigentlich null werden. Ist es dann überhaupt möglich, dass $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist?

15.08.2013, 15:16

Guppi12

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Hi,

Du möchtest ja zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}( \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n(a_k) - a) = 0 \end{eqnarray*}$

Beachte dafür, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n(a_k) - a = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n(a_k) - \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^na = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n(a_k-a) \end{eqnarray*}$

Du weißt, dass du $\begin{eqnarray*} |a_k-a| \end{eqnarray*}$ für große $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ beliebig klein bekommst. Kommst du damit erstmal weiter?

Edit:

Zitat:

EDIT: Wenn ich $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{a_k}{n+1} \end{eqnarray*}$ umforme, dann muss die Summe für beliebig große n doch eigentlich null werden. Ist es dann überhaupt möglich, dass $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist?

Wieso muss dann die Summe 0 werden?

Betrachte $\begin{eqnarray*} (x_k)_{k\in\mathbb N} := (1)_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{x_k}{n+1} = \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{n+1} = 1 \end{eqnarray*}$ f.a. $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

15.08.2013, 15:50

bijektion

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Woher nimmst du dass $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=1}^n a \end{eqnarray*}$ ist?

Folgt nicht eigentlich alles direkt aus $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_k}{n+1} = \frac{n*a_k}{n+1} = \frac{a_k}{1+\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ und wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ gehen lasse?

Schonmal Danke für deine Antwort!

15.08.2013, 15:54

HAL 9000

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Zur begrifflichen Einordnung: Bei der Behauptung hier handelt es sich um den Cauchyschen Grenzwertsatz.

15.08.2013, 15:56

Guppi12

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Zitat:

Woher nimmst du dass $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=1}^n a \end{eqnarray*}$ ist?

Du kannst das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aus der Summe herausziehen, weil es nicht von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ abhängt. Danach solltest du es selber sehen.

Edit: habe etwas übersehen. Du hast mich falsch zitiert. Bei mir fängt der Laufindex bei 0 an. Sonst stimmt das auch nicht.

Zitat:

Folgt nicht eigentlich alles direkt aus $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_k}{n+1} = \frac{n*a_k}{n+1} = \frac{a_k}{1+\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ und wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ gehen lasse?

Wie begründest du denn diesen Schritt?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_k}{n+1} = \frac{n*a_k}{n+1} \end{eqnarray*}$

15.08.2013, 15:59

bijektion

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Zitat:

Original von Guppi12

Wie begründest du denn diesen Schritt?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_k}{n+1} = \frac{n*a_k}{n+1} \end{eqnarray*}$

Ich hab die Abhängigkeit von k vernachlässigt unglücklich

Ich werde mich erstmal zuruückziehen und mich nocheinmal genauer mit der Aufgabe befassen.

Danke!

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