Seerose - exponentielles Wachstum

15.08.2013, 18:50

Kimyaci

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Seerose - exponentielles Wachstum

Eine Seerose verdopple ihre Blattoberfläche in jeweils 10 Tagen. Das Wachstum ihrer Blattoberfläche o wird beschrieben durch $\begin{eqnarray*} o(t) := e^{at-b} \end{eqnarray*}$ mit unbekannten Parametern a und b, wobei die Zeit t in Tagen gemessen wird. Nach wie viel Tagen hat sie ihre Blattoberfläche jeweils verdreifacht?

$\begin{eqnarray*} 2 \ o(t) = e^{10a-b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 \ o(t) = e^{at-b} \end{eqnarray*}$

Nun könnte ich das zwar nach einigen Umformungen gleichsetzen, aber irgendwie hab ich zu wenig Angaben.

15.08.2013, 18:59

Gast11022013

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Wie viele Seerosen sind den am Anfang da?

15.08.2013, 19:10

conlegens

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Wie viele Seerosen sind den am Anfang da?

Es geht um die Blattoberfläche, da spielt die Anzahl keine Rolle.

15.08.2013, 19:11

Gast11022013

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Dann eben so:

Wie groß war die Blattoberfläche am Anfang.

15.08.2013, 19:37

Kimyaci

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Am Anfang? Ich würde sagen

$\begin{eqnarray*} o(t) = e^{-b} \end{eqnarray*}$

Ich glaub das klappt immer noch nicht oder? Wenn ich das oben irgendwo einsetze habe ich zwei Gleichungen, drei Unbekannte.

15.08.2013, 19:41

Gast11022013

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Am Anfang bedeutet ja t=0

also

$\begin{eqnarray*} o(0)=e^{-b} \end{eqnarray*}$

Diesen Fehler hast du auch oben gemacht.

Es ist so, dass es eigentlich völlig egal ist wie viel Oberfläche wir am Anfang haben. Du könntest theoretisch dir einfach irgendeine Fläche Ausdenken, den die Zeit die diese Fläche benötigt um sich zu verdoppeln oder zu verdreifachen ist immer gleich.
Wir kennen nun also den Anfangsbestand in Abhängigkeit des Parameters $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

Stelle nun noch einmal deine Gleichungen auf.

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15.08.2013, 19:44

Kimyaci

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Ach:

$\begin{eqnarray*} o(0) = e^{-b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = e^{-b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = e^{-b} \end{eqnarray*}$

Was ist denn ln 0? verwirrt

verwirrt

15.08.2013, 19:49

Gast11022013

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ln(0) ist nicht definiert.

Was du gerade machst ist einen konkreten Anfangsbestand zu berechnen. Das ist aber gar nicht nötig. Außerdem wäre Null als Anfangsbestand recht ungünstig (zeigt ja auch deine Rechnung).

Wo nichts ist kann sich ja auch nichts verdoppeln.

15.08.2013, 20:08

Kimyaci

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Also ich hab jetzt

$\begin{eqnarray*} o(0) = e^{-b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} o(2) = e^{10a-b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} o(3) = e^{at-b} \end{eqnarray*}$

Nun könnte ich

$\begin{eqnarray*} 2e^{-b} = e^{10a-b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3e^{-b} = e^{at-b} \end{eqnarray*}$

Darf ich die Gleichungen durcheinander dividieren? Du darfst mir ruhig ein paar Tipps mehr geben was die Umformungen angeht, das sind ja nur grundlegende Sachen...

Ich will mich nicht zu lange damit aufhalten.

15.08.2013, 20:22

Gast11022013

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Hier bringst du etwas mit der "f(x)-schreibweise" durcheinander.

$\begin{eqnarray*} o(2)=e^{2a-b}\neq e^{10a-b} \end{eqnarray*}$

Wir wissen, dass nach 10 Tagen sich der Anfangsbestand verdoppelt hat.
Vom Anfangsbestand wissen wir ja, dass er

$\begin{eqnarray*} o(0)=e^{-b} \end{eqnarray*}$

ist.
Demnach ist

$\begin{eqnarray*} o(10)=2e^{-b} \end{eqnarray*}$

Und nun wollen wir wissen nach welcher Zeitspanne sich der Anfangsbestand verdreifacht hat.

Ich würde hier eher zum Einsetzungsverfahren tendieren, als die Gleichungen zu dividieren.

15.08.2013, 20:40

Kimyaci

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} o(10)=2e^{-b} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du jetzt darauf? verwirrt

verwirrt

15.08.2013, 20:42

Gast11022013

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Zitat:

Original von Gmasterflash

Wir wissen, dass nach 10 Tagen sich der Anfangsbestand verdoppelt hat.
Vom Anfangsbestand wissen wir ja, dass er

$\begin{eqnarray*} o(0)=e^{-b} \end{eqnarray*}$

ist.
Demnach ist

$\begin{eqnarray*} o(10)=2e^{-b} \end{eqnarray*}$

Das hatte ich ja oben beschrieben. Der Anfangsbestand ist diese ominöse Größe $\begin{eqnarray*} e^{-b} \end{eqnarray*}$ . Das doppelte davon ist also $\begin{eqnarray*} 2e^{-b} \end{eqnarray*}$ und diese wird nach 10 Tagen erreicht.
Wenn wir also in die Funktion t=10 einsetzen erhalten wir diesen Wert.

15.08.2013, 20:44

Kimyaci

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Oh man, wie du schon merkst bin ich heute nicht in guter Verfassung.

Also wäre in 15 Tagen das Dreifache erreicht? Bzw. könnte man durch Umformungen ja auch an b kommen..

15.08.2013, 20:49

Gast11022013

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Wie du ja in deinen Rechnungen gemerkt haben solltest, neutralisiert sich das b ja ohnehin immer.
Wie wir dieses b wählen hat keinen Einfluss darauf in welcher Geschwindigkeit sich die Oberfläche vergrößert.

Ich erhalte für

$\begin{eqnarray*} t\approx 15.85 \end{eqnarray*}$

15.08.2013, 21:10

Kimyaci

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Okaaaay. Ich weiß auch nicht wieso ich gerade so einen Blackout hatte (ich schau morgen nochmal richtig drüber).

Danke dir für die Mühe, obwohl ich so anstrengend war. Freude

Freude

15.08.2013, 21:11

Gast11022013

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Gern geschehen.

15.08.2013, 21:28

Dopap

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vielleicht tut man sich optisch etwas leichter, wenn man

$\begin{eqnarray*} o(t)=e^{at-b}=e^{-b}e^{at}=ce^{at} \end{eqnarray*}$ umformt.

c ist dann der Anfangsbestand, der wiederum keine Rolle spielt.

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