Flächeninhalt gegeben - vollständige Funktion fehlt

15.08.2013, 19:06

Bidu

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Flächeninhalt gegeben - vollständige Funktion fehlt

Meine Frage:
Bei mit steht nun in meinem letzten Schuljahr die Abiturprüfungen bevor, für die Ich mich möglichst früh vorbereiten möchte, unter anderem in Mathe. Dafür habe Ich eine Aufgabe von meinem Lehrer bekommen, welche ich soweit ganz gut gelöst habe, nur die letzte Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten. Die Aufgabe lautet:
Durch Parallelverschiebung der Wendetangente (hab ich schon berechnet : t(x)=-5x-7) in y-Richtung erhält man eine Gerade h, die im ersten Quadranten mit den beiden Koordinatenachsen Sie eine Gleichung für h

Meine Ideen:
Nun ist mir klar n der Gerade h größer sein muss als 0, da das Dreieck sonst nicht im ersten Quadranten ist. Sehr viel weiter bin ich leider nicht gekommen. Vielleicht ist es auch ganz offensichtlich, aber ich komm leider nicht drauf und hoffe auf eure Hilfe. Danke im Voraus

15.08.2013, 19:13

Gast11022013

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Da ist dir ein Teil der Aufgabenstellung verloren gegangen.
Kannst du diesen Satz noch beenden?

Zitat:

Durch Parallelverschiebung der Wendetangente (hab ich schon berechnet : t(x)=-5x-7) in y-Richtung erhält man eine Gerade h, die im ersten Quadranten mit den beiden Koordinatenachsen .... Sie eine Gleichung für h

15.08.2013, 19:25

Bidu

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oh Danke, ist mir gar nicht aufgefallen. Hier nochmal die Vollständige Aufgabenstellung:

Durch Parallelverschiebung der Wendetangente (hab ich schon berechnet : t(x)=-5x-7) in y-Richtung erhält man eine Gerade h, die im ersten Quadranten mit den beiden Koordinatenachsenein Dreieck mit dem Flächeninhalt 2,5 FE einschließt. Ermitteln Sie eine Gleichung für h.

15.08.2013, 19:28

Gast11022013

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Die Integralrechnung ist dir bekannt, oder?

Ich würde hier lieber mit der Integralrechnung vorgehen (ist ja auch gut für die Wiederholung) als mit der Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks. Natürlich wäre beides möglich.

15.08.2013, 19:31

Bidu

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Ich sah auch die Integralrechnung für die richtige Variante, nur das mit dem fehlenden n der Gleichung konnte ich nicht in meine Rechnung mit einbeziehen, was mich dann letztlich so verwirrt hatte

15.08.2013, 19:32

Gast11022013

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Was meinst du mit fehlenden n?

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15.08.2013, 19:36

Bidu

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Die Tangente wird verschoben, daher ist die Gleichung t(x)= -5x -7 nicht mehr ganz gültig, es gilt: h(x)= -5x + n
Dabei ist n > 0

Wie kann ich denn integrieren mit 2 nicht bekannten Variablen (x und n) ?

15.08.2013, 19:39

Bidu

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Die Tangente wird verschoben, daher ist die Gleichung t(x)= -5x -7 nicht mehr ganz gültig, es gilt: h(x)= -5x + n
Dabei ist n > 0

Wie kann ich denn integrieren mit 2 nicht bekannten Variablen (x und n) ?

Eine weitere Schwierigkeit ist das man ohne n nicht den Schnittpunkt mit der x-Achse berechnen kann

15.08.2013, 19:47

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! -5x+n \, dx =2.5 \end{eqnarray*}$

Damit wir rechnen können benötigen wir erstmal das a und b. Also unsere Grenzen.
Wie lautet unsere untere Grenze a?

Zitat:

Eine weitere Schwierigkeit ist das man ohne n nicht den Schnittpunkt mit der x-Achse berechnen kann

Das n ist ja lediglich ein Parameter. Eine Konstante die wir später einfach festsetzen. Also keine zusätzliche Variable. Wir behandeln sie wie eine normale Zahl, auch bei der Integration. Berechne also den Schnittpunkt mit der x-Achse in Abhängigkeit dieses Parameters.

15.08.2013, 19:47

alterHund

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die Gleichung der verschobenen Tangente
ist
h(x) = -5x-7+n,
xAbschintt durch h(x)=0,
yAbschnitt h(0)
beide Ausgedrückt durch n,

Produkt/2 = 2,5, auflösen nach n

15.08.2013, 19:51

Gast11022013

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Zitat:

die Gleichung der verschobenen Tangente
ist
h(x) = -5x-7+n

Das ist doch erstmal egal. Man muss halt hinterher den y-Achsenabschnitt anpassen.

15.08.2013, 19:59

Bidu

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@ Gmasterflash:
a = 0

Wird b dann einfach ignoriert ?

Also wäre dann die Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! -5x + n \, dx = \left[2,5x^{2} + nx\right]_{0}^{b} \end{eqnarray*}$

oder ?

15.08.2013, 20:02

Gast11022013

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Unsere untere Grenze ist Null, genau.

Nein, b wird nicht ignoriert. Dies ist unsere obere Grenze, welche wir in Abhängigkeit von n angeben müssen.
Immerhin variiert der Schnittpunkt mit der x-Achse je nachdem wie man das n nun wählt.

$\begin{eqnarray*} -5x+n=0 \end{eqnarray*}$

musst du lösen, damit du deine obere Grenze erhältst.
Löse diese Gleichung also nach x auf. Behandel n dabei wie eine ganz normale Zahl.

Edit:

Bei deiner Stammfunktion wäre dir übrigens ein Vorzeichen verloren gegangen.

15.08.2013, 20:05

Bidu

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Oder ist es doch :

$\begin{eqnarray*} \int_0^b \! n - 5x \, dx = \left[nx -\frac{5x^{2} }{2} \right]_{0}^{b} = 2,5 \end{eqnarray*}$

15.08.2013, 20:06

Gast11022013

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Die Reihenfolge ist natürlich egal. Hier hast du das Vorzeichen allerdings nicht vergessen.
Deine Stammfunktion ist so korrekt. Jetzt musst du nur noch die obere Grenze finden. Dann kannst du anfangen zu rechnen.

15.08.2013, 20:10

Bidu

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$\begin{eqnarray*} -5x+n=0 \mid +5x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n = 5x \mid :5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{5} = x \end{eqnarray*}$

ist das so richtig ?

15.08.2013, 20:12

Gast11022013

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Ja. Jetzt kannst du diese Grenze einsetzen und rechnen.

15.08.2013, 20:28

Bidu

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$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{n}{5} \! n - 5x \, dx = \left[nx- \frac{5x^{2} }{2} \right]_{\frac{n}{5} }^{0}= (0) - (\frac{n}{5} - \frac{\frac{n^{2} }{25} }{2}) = 2,5 \end{eqnarray*}$

Ist das soweit Richtig ?

15.08.2013, 20:31

Gast11022013

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Du hast hier die Grenzen in der verkehrten Reihenfolge eingesetzt.
Man rechnet "Obergrenze - Untergrenze".

Des Weiteren hast du hier in beiden Teilen etwas vergessen.
Im ersten Teil eine Potenz im zweiten Teil den Faktor 5.

15.08.2013, 20:41

Bidu

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Ah okay Danke.

Ist das so jetzt Richtig ?
$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{n}{5} \! n - 5x \, dx = \left[nx- \frac{5x^{2} }{2} \right]_{0 }^{\frac{n}{5}}= (0) - (\frac{n^{2} }{5} - \frac{\frac{n^{2} }{5} }{2}) = 2,5 \end{eqnarray*}$

15.08.2013, 20:45

Gast11022013

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Die Reihenfolge, wie du die Obergrenze und Untergrenze eingesetzt hast, ist noch falsch. Den anderen Fehler hast du korrigiert.

Die falsche Reihenfolge hat ein negatives Vorzeichen zur Folge.

15.08.2013, 21:04

Bidu

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Also:

$\begin{eqnarray*} \int_\frac{n}{5}^0 \! n - 5x \, dx = \left[nx- \frac{5x^{2} }{2} \right]_{\frac{n}{5}}^{0}= (\frac{n^{2} }{5} - \frac{\frac{n^{2} }{5} }{2}) - (0) = 2,5 \end{eqnarray*}$

demnach berechnet man die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{2} }{5} - \frac{\frac{n^{2} }{5} }{2} = 2,5 \end{eqnarray*}$
Und da
$\begin{eqnarray*} \frac{n^{2} }{5} - \frac{\frac{n^{2} }{5} }{2} = \frac{\frac{n^{2} }{5} }{2} \end{eqnarray*}$

gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{n^{2} }{5} }{2} = 2,5 \end{eqnarray*}$

Dies Multipliziert man dann 2 und danach mit 5

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{n^{2} }{5} }{2} = 2,5 \mid *2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{n^{2} }{5} = 5 \mid *5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n^{2} = 25 \mid \sqrt{\,} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n = 5 \end{eqnarray*}$

Also ist die Gleichung von der Geraden h : $\begin{eqnarray*} h(x)=-5x+5 \end{eqnarray*}$

15.08.2013, 21:10

Gast11022013

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Jetzt hättest du die Grenzen in der Schreibweise vertauscht, ich gehe aber mal davon aus, dass es einfach an der Schreibweise mit Latex liegt.

Ja das würde soweit passen.
Jedoch bringt das ziehen der Wurzel zwei Lösungen:

$\begin{eqnarray*} n_{1,2}=\pm 5 \end{eqnarray*}$

Davon schließt sich eine Lösung aus.
Ebenfalls könntest du noch angeben um wie viel man nun die Gerade $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ verschieben muss.
Wird aber in der Aufgabenstellung nicht explizit gefordert.

15.08.2013, 22:06

Bidu

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Vielen vielen dank für die Hilfe. Ohne hätte ich es wahrscheinlich Nie geschafft Freude

Freude

15.08.2013, 22:24

Gast11022013

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Gern geschehen.

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