Termumformung

16.08.2013, 14:16	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Termumformung Für $\begin{eqnarray} a,b,c > 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a,b \neq 1 \end{eqnarray}$ soll $\begin{eqnarray} b^{log_a(c)}= c^{log_a(b)} \end{eqnarray}$ Ich könnte ja $\begin{eqnarray} log_a(c) = \frac{log_y(c)}{log_y(a)} \end{eqnarray}$ umformen, aber das bringt mich nicht sehr weit. Ansonsten dachte ich an etwas wie $\begin{eqnarray} ln(e^x) \end{eqnarray}$ , aber wie genau mach ich das?
16.08.2013, 14:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt hier viele denkbare Lösungswege. Einer wäre z.B., $\begin{eqnarray} x = a^{\log_a(x)} \end{eqnarray}$ links für $\begin{eqnarray} x=b \end{eqnarray}$ und rechts für $\begin{eqnarray} x=c \end{eqnarray}$ anzuwenden und anschließend dann via Potenzgesetz $\begin{eqnarray} (a^s)^t = a^{st} = (a^t)^s \end{eqnarray}$ die Gleichheit beider Terme zu sehen.
16.08.2013, 15:08	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Termumformung $\begin{eqnarray} b^{log_a (c)} = c^{log_a (b)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a^{\log_a(x)})^{\log_a (c)} = (a^{\log_a(x)})^{\log_a (b)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a^{\log_a(b)})^{\log_a (c)} = (a^{\log_a(c)})^{\log_a (b)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a^{\log_a (c)})^{\log_a (b)} = (a^{\log_a(c)})^{\log_a (b)} \end{eqnarray}$ Also ist die Aussage ist wahr.

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