Messbarkeit von einer abschnittsweise definierten Funktion

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16.08.2013, 19:31	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
Messbarkeit von einer abschnittsweise definierten Funktion Moin, Seien $\begin{eqnarray} f, g : ( \Omega, \mathfrak A ) \rightarrow ( \mathbb {R} ^, \mathcal {B} ( \mathbb {R} ^)) \end{eqnarray}$ zwei messbare Funktionen, mit $\begin{eqnarray} \mathbb R ^ =\mathbb R \cup \left\{ -\infty, \infty \right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathcal B (\mathbb R ^* ) \end{eqnarray}$ , der Borel Algebra erzeugt von allen offenen Megen in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Woher weiß ich nun, dass $\begin{eqnarray} f_1(x):=\begin{cases} 0, & \forall x \in \Omega \setminus S \\ f, & \forall x \in S \end{cases} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} S:= \left\{x \in \Omega : f(x) \neq g(x) \right\} \end{eqnarray*}$ auch messbar ist??? krieg das echt irgendwie nicht hin... Wär cool wenn mir einer einen Tipp geben könnte. Gruß Nickel
16.08.2013, 20:08	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Messbarkeit von einer abschnittsweise definierten Funktion Zunächst solltest du feststellen, dass $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ messbar ist.
16.08.2013, 20:18	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Messbarkeit von einer abschnittsweise definierten Funktion du meinst $\begin{eqnarray} f : S \rightarrow \mathbb R ^ \end{eqnarray*}$ ?
16.08.2013, 20:22	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Messbarkeit von einer abschnittsweise definierten Funktion Nein, $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist doch auf $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ definiert. Mit $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ meine ich das, was ich schreibe: Die Menge $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ .
16.08.2013, 20:31	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Messbarkeit von einer abschnittsweise definierten Funktion Ist das: Die Elemente $\begin{eqnarray} X \subset \mathfrak A \end{eqnarray}$ heißen die messbaren Teilmengen von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ die Definition von messbaren Mengen? Steht in meinem Buch in einem Beispiel für den Lebesqueschen Maßraum... Das $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ein Element von $\begin{eqnarray} \mathfrak A \end{eqnarray}$ ist gilt nach dem im Angang gezeigten Satz wobei $\begin{eqnarray} \left\{f=g\right\}:=\left\{ x \in \Omega : f(x)=g(x) \right\} \end{eqnarray}$
16.08.2013, 20:37	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Messbarkeit von einer abschnittsweise definierten Funktion Lebesgue schreibt sich allerdings mit g, nicht mit q. Jetzt weißt du jedenfalls, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ messbar sind. Kannst du nun $\begin{eqnarray} f_1 \end{eqnarray}$ als Produkt zweier messbarer Funktionen darstellen?
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16.08.2013, 20:43	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Messbarkeit von einer abschnittsweise definierten Funktion jo so $\begin{eqnarray} f_1= f \chi_S \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \chi_S :=\begin{cases} 0, & \forall x \in \Omega \setminus S \\ 1, & \forall x \in S \end{cases} \end{eqnarray}$
16.08.2013, 20:49	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Messbarkeit von einer abschnittsweise definierten Funktion ah nice dazu gibs ja noch n satz Boa und ich hab versucht das mit sonnen riesigen umformungen zu machen -.- Danke!
16.08.2013, 21:36	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Messbarkeit von einer abschnittsweise definierten Funktion Übrigens ist $\begin{eqnarray} \mathbb R_+^ \end{eqnarray}$ nichts weiter als $\begin{eqnarray} (0,\infty) \end{eqnarray}$ . D.h. $\begin{eqnarray} x\geq0\land x\neq0 \end{eqnarray}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray*}$ .
16.08.2013, 21:44	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Messbarkeit von einer abschnittsweise definierten Funktion jo wollte da nur einmal versuchen wie man ganz genau so einen Schnitt aufschreiben kann mit den kleinstmöglichen Zwischenschritten Gruß Nickel
16.08.2013, 21:52	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Messbarkeit von einer abschnittsweise definierten Funktion Das sollte bei der Beschäftigung mit Maßtheorie aber schon lange sitzen
16.08.2013, 22:16	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Messbarkeit von einer abschnittsweise definierten Funktion jo stimmt... tuts aber auch war nur ein "Experiment"

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