Frage zu DGL

17.08.2013, 15:23

tcp

Frage zu DGL

Hi Leute, ich bin grade am Versuch eines meiner ersten DGL´s zu lösen, bin mir dabei noch sehr unsicher.

$\begin{eqnarray*} y'(t) = cos(t)y(t) + t^{2}e^{sin(t)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(\pi ) = -1 \end{eqnarray*}$

Meine Idee:
Die Gleichung
$\begin{eqnarray*} y'(t)-cos(t)y(t) = t^{2}e^{sin(t)} \end{eqnarray*}$
als inhomogene lineare DGL erster Ordnung durch Variation der Konstanten berechnen.

Also zuerst die homegene DGL
$\begin{eqnarray*} y'(t)-cos(t)y(t) = 0 \end{eqnarray*}$
berechnen.

Ist der Ansatz soweit richtig? Falls nein kann ich mir dann meine ganzen Berechnungen die ich dazu gemacht habe sparen Hammer

Ansonsten poste ich mal was ich so alles berechnet habe, bin aber auf kein vernünftiges Endergebnis gekommen.

Schonmal vielen Dank

17.08.2013, 15:32

grosserloewe

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RE: Frage zu DGL
Wink

Ja der Ansatz stimmt ,Variation der Konstanten ist das Verfahren.

17.08.2013, 15:57

tcp

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Alles klar dann schreibe ich mal was ich so berechnet habe:

Erstmal die Lösung des homogenen linearen DGL, da hab ich raus:
$\begin{eqnarray*} y(t) = Ce^{sin(t)} \end{eqnarray*}$

Jetzt die Konstante als Funktion schreiben:
$\begin{eqnarray*} y(t) = f(t)e^{sin(t)} \end{eqnarray*}$
Rechte Seite ableiten:
$\begin{eqnarray*} y'(t) = f'(t)e^{sin(t)}+f(t)cos(t)e^{sin(t)} \end{eqnarray*}$
In die Gleichung aus Post 1 einsetzen ergibt:
$\begin{eqnarray*} f'(t)e^{sin(t)}+f(t)cos(t)e^{sin(t)}-cos(t)f(t)e^{sin(t)}=t^{2}e^{sin(t)} \end{eqnarray*}$
Kürzen / Umstellen:
$\begin{eqnarray*} f'(t)e^{sin(t)}=t^{2}e^{sin(t)} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | * e^{-sin(t)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(t)=t^{2} \end{eqnarray*}$
Integrieren:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} t^{3} +C \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle weiss ich nicht wirklich weiter, wenn ich jetzt C ausrechne mit dem gegebenen AWP bekomme ich eine sehr ungerade Zahl, daran merke ich schon das es falsch ist weil die Aufgaben so gemacht sind das man keinen TR braucht. Deshalb jetzt meine Frage, ab wann das ganze falsch ist.

17.08.2013, 16:27

grosserloewe

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alles richtig , bis hier.

Jetzt setzt Du

$\begin{eqnarray*} \frac{t^{3} }{3 } \end{eqnarray*}$

ein in

$\begin{eqnarray*} y= C(t) e^{sin(t)} \end{eqnarray*}$

bildest

$\begin{eqnarray*} y= y_{h } +y_{p } \end{eqnarray*}$

und setzt dann die Anfangswert ein und bist fertig.

Was hast Du für C(t) erhalten?

PS: ich habe

$\begin{eqnarray*} -1 - \frac{\pi ^{3} }{3} \end{eqnarray*}$

erhalten.

18.08.2013, 14:36

tcp

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Zitat:

Original von grosserloewe
Jetzt setzt Du

$\begin{eqnarray*} \frac{t^{3} }{3 } \end{eqnarray*}$

ein in

$\begin{eqnarray*} y= C(t) e^{sin(t)} \end{eqnarray*}$

bildest

$\begin{eqnarray*} y= y_{h } +y_{p } \end{eqnarray*}$

und setzt dann die Anfangswert ein und bist fertig.

Was hast Du für C(t) erhalten?

PS: ich habe

$\begin{eqnarray*} -1 - \frac{\pi ^{3} }{3} \end{eqnarray*}$

erhalten.

Moin, musste gestern weg, habe jetzt mal probiert das ganze fertig zu rechnen:

$\begin{eqnarray*} y'(t) = cos(t)y(t) + t^{2}e^{sin(t)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(\pi ) = -1 \end{eqnarray*}$

Erstmal die Lösung des homogenen linearen DGL, da hab ich raus:
$\begin{eqnarray*} y(t) = Ce^{sin(t)} \end{eqnarray*}$

Jetzt die Konstante als Funktion schreiben:
$\begin{eqnarray*} y(t) = f(t)e^{sin(t)} \end{eqnarray*}$
Rechte Seite ableiten:
$\begin{eqnarray*} y'(t) = f'(t)e^{sin(t)}+f(t)cos(t)e^{sin(t)} \end{eqnarray*}$
In die Gleichung aus Post 1 einsetzen ergibt:
$\begin{eqnarray*} f'(t)e^{sin(t)}+f(t)cos(t)e^{sin(t)}-cos(t)f(t)e^{sin(t)}=t^{2}e^{sin(t)} \end{eqnarray*}$
Kürzen / Umstellen:
$\begin{eqnarray*} f'(t)e^{sin(t)}=t^{2}e^{sin(t)} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | * e^{-sin(t)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(t)=t^{2} \end{eqnarray*}$
Integrieren:
$\begin{eqnarray*} f(t) = \frac{1}{3} t^{3} +C \end{eqnarray*}$
Anfangswert einsetzen und nach C auflösen:
$\begin{eqnarray*} -1 = \frac{\pi^{3}}{3}+C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1-\frac{\pi^{3}}{3} = C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(t) = \frac{t^{3}}{3}-1-\frac{\pi^{3}}{3} \end{eqnarray*}$
In y(t) einsetzen ergibt:
$\begin{eqnarray*} y(t) = (\frac{t^{3}}{3}-1-\frac{\pi^{3}}{3})e^{sin(t)} \end{eqnarray*}$

Ist das so in Ordnung?
Was ich an deinem letzten Post nicht verstanden habe ist das hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y= y_{h } +y_{p } \end{eqnarray*}$

18.08.2013, 14:42

grosserloewe

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Das Ergebnis stimmt.

Zu Deiner Frage:

Damit meinte ich nur, wie die allgemeine Lösung der DGL sich zusammensetzt .(ohne den Anfangswert)

18.08.2013, 17:56

micha_L

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RE: Frage zu DGL
Hallo,

ich will mich nicht einmischen, aber dennoch anmerken, dass diese DGL nach geeigneter Umformung separierbar wird:

$\begin{eqnarray*} y'-\cos(t)y=t^2\mathrm{e}^{\sin(t)}\iff y'\mathrm{e}^{-\sin(t)}+y\mathrm{e}^{-\sin(t)}(-\cos(t))=t^2\iff (y\mathrm{e}^{-\sin(t)})'=t^2 \end{eqnarray*}$

Allgemein klappt das bei DGLn vom Typ $\begin{eqnarray*} y'\pm f(x)y=g(x) \end{eqnarray*}$ durch Multiplikation mit dem Term $\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^{\pm F(x)} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sei.

Damit spart man sich eine Menge Arbeit.

Mfg Michael

18.08.2013, 18:18

grosserloewe

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RE: Frage zu DGL
Wink

@Micha_L:
Danke für den Hinweis.

Ja , da hast Du wohl Recht. Dieses Verfahren kenne ich natürlich auch.
(Wir hatten damals gesagt, das ist das Verfahren nach der sogenannten Lösungsformel)
Aber da es ja seine erste oder eines der ersten DGL war, wollte ich ihn nicht durcheinander bringen
und einfach sagen , hör auf es geht viel einfacher.

smile

nach dieser Methode wär :

g(x)= -cos(t)
s(x)= t^2 *e^sin(x)

Jetzt bräuchte mann 2 mal kurz integrieren , dann in die allgemeine Formel einsetzen
und man hätte das allg. Ergebnis. Dann nur noch den Anfangswert einsetzen und wär fertig.

Vielleicht meinst Du das Gleiche?

18.08.2013, 18:32

micha_L

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RE: Frage zu DGL
Hallo,

Zitat:

Original von grosserloewe
[...]
nach dieser Methode wär :

g(x)= -cos(t)
s(x)= t^2 *e^sin(x)

Jetzt bräuchte mann 2 mal kurz integrieren , dann in die allgemeine Formel einsetzen
und man hätte das allg. Ergebnis. Dann nur noch den Anfangswert einsetzen und wär fertig.

Vielleicht meinst Du das Gleiche?

Ja, denke schon.

Bin übrigens völlig damit einverstanden, erstmal die Standardwege zu lernen.

Mfg Michael

18.08.2013, 19:05

grosserloewe

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RE: Frage zu DGL
Wink

Ich meine diese Formel:

$\begin{eqnarray*} y= e^{-\int g(t) \, dt } (\int s(t) * e^{\int g(t) dt \, } \, dt +C) \end{eqnarray*}$

ja , da ist man in ein paar Zeilen fertig.

smile

18.08.2013, 20:40

tcp

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Super, vielen Dank für eure Hilfe smile

20.08.2013, 20:06

tcp

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Hi, ich benutze meinen Thread mal für mein nächstes (Anfangswert-)Problem :-)
Konnte jetzt einige DGL anständig lösen, aber hier finde ich keinen Ansatz:

$\begin{eqnarray*} y'(t) = \frac{1-y(t)^{2}}{y(t)} \end{eqnarray*}$

Linear ist es wohl nicht, aber mit Trennung der Veränderlichen bin ich nicht wirklich weitergekommen. Könnt ihr mir hier einen Ansatz geben, wäre super :-)

20.08.2013, 20:10

grosserloewe

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Trennung der Variablen geht.

Multipliziere auf beiden Seiten y

setze dann

y' = $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dt} \end{eqnarray*}$

20.08.2013, 20:28

tcp

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Danke, jetzt bin ich mir mit Wolfram Alpha einig, hatte einen Fehler beim Integrieren Gott

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