Komplexe Zahlen

17.08.2013, 15:54	BatmanX	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen Meine Frage: Hallo, habe ein paar Fragen bzgl. der komplexen Zahl. Die Aufgabe verlangt, dass ich die Ergebnisse dieser Ausdrücke bestimmen soll: a)\|A+B\| b)2A-3B Gegeben: A=3-i und B=1+2i Die dritte und die letzte Aufgabe wäre: Betrag und Argument von 1/2+ ?3/2i Meine Ideen: Bei a): Wenn ich das einsetze, habe ich schon eine Frage und zwar: Würde es wie folgt aussehen: z²=(3-i)²+(1+2i)² und dann nach der zweiten und ersten binomischen Formel auflösen: 9-6i+i² + 1+4i+4i²= 10-2i+5i² oder z²= 3²-i²+1²+2²i²=10+4i² Welche Vorgehensweise wäre jetzt nun richtig? Muss ich dann anschließend noch die p/q formel machen, da ich eine quadratische Funktion habe? Bei b) wiederum: 2*(3-i)-3(1+2i) Würde das dann: 6-2i-3+6i=3-4i ergeben? Wäre 3-4i schon das Ergebnis oder muss ich da noch etwas machen? 3. Aufgabe) Bei dem Betrag würde ich so vorgehen: \|1/2+ ?3/2i\|= (1/2)²+(?3/2)² Davon noch mal die Wurzel und bekomme dann genau 1 heraus. Ist die Lösung richtig? Bei dem Argument: Arg.( 1/2+ ?3/2i)= tan(a)=?3/2 / 1/2 Da bekomme ich für tan (a)= 0,03 heraus Bei arc tan= 1,732 Der Wert ist ziemlich klein. Habe ich da was falsch gemacht? Greetz Edit: Ich habe bei der dritten Aufgabe gemerkt, dass das Wurzel Zeichen hier nicht möglich ist. Stattdessen ist immer ein Fragezeichen dort. D.h.: Es soll Wurzel aus 3 durch 2 mal i sein.
17.08.2013, 18:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bevor wir uns mit c) beschäftigen, solltest du bitte a) und b) korrigieren. Tipp zu a) berechne zuerst C=A+B und dann \|C\|=\|A+B\| Tipp zu b) in deiner Rechnung steckt ein Vorzeichenfehler
17.08.2013, 23:17	BatmanX	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, den Fehler in b) sehe ich jetzt auch. 2*(3-i)-3(1+2i)=6-2i-3-6i=3-8i Zu a) C=A+B= 3-i + 1+2i= 4-i \|4-i\|= 4²-i² => Wurzel aus 16, i fällt glaub ich hier weg. Dann hätte ich nur die 4?
18.08.2013, 09:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
b) ist in Ordnung a) ... und schon wieder ein Vorzeichenfehler ... und schon wieder ein Verständnisfehler ... $\begin{eqnarray} A+B = 3-i+1+2i = 4+i \Rightarrow \|A+B\|=\|4+i\|=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17} \end{eqnarray}$ Definition: $\begin{eqnarray} z=x+iy\in\mathbb C\Rightarrow \|x+iy\|=\sqrt{x^2+y^2}\in \mathbb R_{+} \end{eqnarray}$ Bitte lerne daraus, dass du viel sorgfältiger arbeiten musst. c) Diesen Teil der Aufgabe musst du mir erst einmal genau erklären. Deine Schreibweise ist so unglaublich schlampig, dass ich damit nichts anfangen kann. Bitte lerne daraus, dass du viel sorgfältiger arbeiten musst.
18.08.2013, 10:59	BatmanX	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Bei b) wusste ich gar nicht, dass vor dem i auch noch ein Koeffizient ist. Ich dachte immer, dass das i unter der Wurzel verschwindet. Zu c) $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}} {2i} \end{eqnarray}$ Davon muss ich den Betrag sowohl das Argument bestimmen. Ich bin so vorgegangen: $\begin{eqnarray} r²=x²+y² => \|r\|=\sqrt{x²+y²} \end{eqnarray}$ Wenn ich das jetzt einsetze und gleich quadriere, bekomme ich folgendes heraus: $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3} {4}}=1 oder -1 \end{eqnarray}$ Argument: $\begin{eqnarray} \tan(\alpha )=\frac{y}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =>\tan(\alpha )=\frac{\frac{\sqrt{3}} {2}}{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tan(\alpha )=-6,15 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha =-1,41 \end{eqnarray}$ Die -1,41 habe ich mit arctan berechnet.
18.08.2013, 12:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Betrag einer komplexen Zahl ist niemals negativ. Für z=0 ist \|z\|=0, für alle anderen kompexen Zahlen z ist der Betrag immer die positive reelle Wurzel. Also für dieses Beispiel Betrag z=1. Eigentlich hatte ich erwartet, dass $\begin{eqnarray} z=\frac 1 2 + \frac {\sqrt 3}{2} i \end{eqnarray}$ . Davon unterscheidet sich dieses z nicht wesentlich, aber immerhin ein bißchen. Der Ansatz zur Berechnung des Arguments von z ist richtig, aber die Berechnung des Arguments von z ist sehr falsch. Tipp: Zeichne den Einheitskreis, das ist der Kreis um 0 mit Radius 1. z muß darauf liegen, denn das sind genau die komplexen Zahlen mit Betrag 1 ! Konstruiere darin ein regelmäßiges Sechseck mit zwei Ecken auf der x-Achse (bei +1 und -1).
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