Funktionen: injektiv, surjektiv

18.08.2013, 14:01

Math12

Funktionen: injektiv, surjektiv

Meine Frage:
Für welche a,b,c $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R ist die Fkt f: R nach R mit f(x):=ax^2+bx+c bijektiv?

Meine Ideen:
Beweis der injektivität und der surjektiität. Wir beginnen mit der Injektivität:
z.Z. ist das f(x1)=f(x2) genau dann wenn x1=x2 ist.

a(x1)^2+bx1+c=a(x2)^2+bx2+c
a(x1)^2+bx1=a(x2)^2+bx2
a((x1)^2-(x2)^2)+b(x1-x2)=0
a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2)=0
(x1-x2)(a(x1+x2)+b)=0
Für x1-x2=0 ist die Funktion injektiv?
oder für a(x1+x2)+b=0.
Ich weiß nicht was ich jetzt machen muss.
Kann mir jemand helfen

18.08.2013, 15:24

Dopap

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RE: Funktionen: injektiv, surjektiv

Zitat:

Original von Math12
Wir beginnen mit der Injektivität:

z.Z. ist das f(x1)=f(x2) genau dann wenn x1=x2 ist.

Das ist lediglich eine triviale Aussage. Du meinst bestimmt:

$\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

alternativ könnte man noch die Kontraposition nehmen:

$\begin{eqnarray*} x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2) \end{eqnarray*}$

Ich würde Diese nehmen, und zeigen, dass Diese falsch ist. Für dein Polynom gibt es mindestens ein Wertepaar, deren Funktionswerte gleich sind.

18.08.2013, 15:32

Che Netzer

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Es geht gar nicht darum, zu überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist. Es gibt also nichts zu zeigen oder zu widerlegen.

18.08.2013, 15:37

Nofeykx

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Zitat:

Ich würde Diese nehmen, und zeigen, dass Diese falsch ist. Für dein Polynom gibt es mindestens ein Wertepaar, deren Funktionswerte gleich sind.

Ist das so? Für alle reelle Zahlen a,b,c?

18.08.2013, 15:48

Dopap

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Nein nicht für alle Zahlen.

Ich dachte, man beginnt erst mit einer echten Parabel,

und könnte dabei feststellen, dass für $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ keine Injektivität vorliegt , und dann die entsprechenden Schlüsse ziehen...

Aber lass dir das besser von Che Netzer erklären.

18.08.2013, 16:42

Math12

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Um die Bijektivität zu überprüfen ist es doch nötig die injektivität und die surjeltivität zu zeigen?

18.08.2013, 17:06

Che Netzer

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... zu überprüfen, nicht zu zeigen. (wobei die Wortwahl auch noch nicht die schönste ist)
Nur Behauptungen bzw. Aussagen werden "gezeigt". In der Aufgabe lässt sich aber keine Behauptung finden. Etwas "zeigen" kannst du hier also erst, sobald du selbst eine Behauptung aufgestellt hast; z.B. "Für $\begin{eqnarray*} a\neq0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht injektiv." (siehe Dopaps Beitrag).

Die Frage kannst du auch so formulieren:
Unter welchen Bedingungen an die Parameter $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bijektiv? (Aufgabe 1)

Das ist vergleichbar mit folgender Frage: Für welche $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x^2=1 \end{eqnarray*}$ ? (Aufgabe 2)
Da gibt es auch nichts zu zeigen, sondern es soll eine Menge von Lösungen gefunden werden, für welche eine bestimmte Aussage gilt:
$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}\begin{tabular}{r|l|l}&Aufgabe 1&Aufgabe 2\\\cline{2-3} Finde alle&$a,b,c\in\mathbb R$,&$x\in\mathbb R$,\\so dass folgende Aussage gilt:&$f$ ist bijektiv.&$x^2=1$.\end{tabular}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$
Es ist also keine "Zeige"-Aufgabe, sondern eine "Finde"-Aufgabe.

18.08.2013, 17:57

Dopap

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ja, nachdem Math12 gleich so direkt auf bijektiv losgegangen ist, hatte ich die eigentliche Frage aus dem Blick verloren.
Sowas kann passieren, nur sollte dann aufgrund der Probleme festgestellt werden:
Im allgemeinen Fall gelingt kein Injektivität, nur unter gewissen Bedingungen die die Parameter erfüllen sollten.
Vor einem solchen selbstgeforderten Nachweis, könnte man sich auch dem Problem anderst nähern:

Es gibt doch Begriffe wie monoton und streng monoton, die mit Bijektivität in Zusammenhang stehen.
Wenn man sich das graphisch vorstellt, dann sieht man doch fast schon die Anforderungen an die Parabel.

Hat man nun starke Vermutungen bezüglich a,b dann kann man diese mit mathematischen Methoden bestätigen, oder bei Falschvermutung verwerfen.

So oder so ähnlich könnte ich mir einen Beitrag unter " Meine Ideen" vorstellen.

18.08.2013, 19:55

Nobundo

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RE: Funktionen: injektiv, surjektiv

Zitat:

Original von Math12
Für x1-x2=0 ist die Funktion injektiv?
oder für a(x1+x2)+b=0.
Ich weiß nicht was ich jetzt machen muss.
Kann mir jemand helfen

Deine Idee ist schon richtig, aber denk daran das du hier nach Bedingungen für die Parameter $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ suchst und nicht etwa nach Bedingungen an $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \end{eqnarray*}$ , mal abgesehen von der Forderung
$\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$

18.08.2013, 21:19

Math12

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Danke für die Hinweise.
Ich weiß immer noch nicht wie weiter kommen soll.
Zu Aufgabe 1: Warum die Stetigkeit und wie man es finden?
Zu Aufgabe 2: Warum x^2=1?

18.08.2013, 21:26

Che Netzer

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Zitat:

Original von Math12
Zu Aufgabe 1: Warum die Stetigkeit und wie man es finden?

Das war ein dummer Tippfehler; habe es zu "bijektiv" korrigiert smile

Ich hoffe, jetzt ist klar, dass das genau die hier gestellte Aufgabe ist.

Zitat:

Zu Aufgabe 2: Warum x^2=1?

Einfach nur so.
Ich hätte auch $\begin{eqnarray*} \cos x=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \tan x+\ln x=7 \end{eqnarray*}$ schreiben können. Das soll nur für irgendeine Aussage stehen, die von den zu bestimmenden Zahlen abhängt.

18.08.2013, 23:12

Nobundo

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RE: Funktionen: injektiv, surjektiv
Um mal wieder zurück zum eigentlich Thema bzw. der eigentlichen Frage zu kommen:
Du suchst Bedingungen an die Parameter $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ die sicherstellen das für beliebige $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ immer folgt $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$
Also ich würde dazu einfach mal so anfangen:

der Parameter $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist nur ein konstanter "Offset" der Funktion. Was bedeutet das für die Bijektivität?
Weiter sieht man direkt welche Kurve für $\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{b=0} \end{eqnarray*}$ herauskommen würde und in wie weit sie bijektiv ist

Jetzt musst du dir nur noch überlegen, welche Bedingung(en) an den Parameter $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ zu stellen sind damit f bijektiv wird. Dazu kannst du dir überlegen ob du zu einer Kombination von $\begin{eqnarray*} a\neq 0\neq b \end{eqnarray*}$ ein lokales Extremum findest, was der Bijektivität ja widersprechen würde. Sollte das gehen kannst du direkt die notwendige Bedingung für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ folgern.

Edit(Helferlein): Blaue Textstellen wurden von mir verändert. Bitte denk daran, dass Komplettlösungen nicht gewünscht sind und der Fragesteller sich eigene Gedanken machen soll.

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