Grenzwertberechnung MWS

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Kathi_R Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertberechnung MWS
Hallo,
ich habe folgendes Problem:

ich soll mit mit dem MWS bestimmen.

Mein Ansatz war folgender:

Irgendeine Stelle zwischen 0 und (einschließlich) 1 muss die Steigung haben, die auch die Sekante zwischen den beiden Punkten an den Stellen x=0 und x=1 hat.

Nun habe ich folgendes Problem: 0 ist ja gar nicht im Intervall drin, bzw generell nicht definiert in dieser Funktion. Wie soll ich da eine Sekante "zeichnen"?

Und des weiteren:
wenn ich die Gleichung aufstelle: und dann einsetze habe ich 2 Unbekannte: und f(0) (falls es das überhaupt gibt.

Ich habe durch l'hospital den Grenzwert 1 rausbekommen, soll aber wie gesagt in dieser Aufgabe nur den MWS nutzen.

Wie löse ich so eine Aufgabe?

Viele Grüße und vielen Dank für alle, die weiterhelfen wollen/können!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Lass dich mal hiervon inspirieren (insbesondere vom ersten Beitrag von AD) :

http://www.matheboard.de/archive/11461/thread.html

Welche "Hilfsfunktion" und welches Intervall könnte man hier also nehmen ?
Kathi_R Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, habe ich versucht.
Nun habe ich dazu einige Fragen:
Wieso betrachtet er plötzlich eine andere Funktion? Und woher nimmt er die Stellen x=0 und x=1/n? Die sind ja vermutlich nicht beliebig gewählt.

Jedenfalls kommt bei ihm heraus, dass die Ableitung seiner "Hilfsfunktion" genau seine eigentliche Funktion ist für ein zwischen den beiden Werten.

Ich würde das nun so deuten, dass ich eine Funktion brauche, deren Differentialquotient für x=0 und h=1 genau meine Funktion ergibt.

Seh ich das richtig?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich würde das nun so deuten, dass ich eine Funktion brauche, deren Differentialquotient für x=0 und h=1 genau meine Funktion ergibt.


Als zu betrachtendes Intervall, würde ich mich einfach am Nenner deiner Ausgangsfunktion orientieren.
Du musst das auch nicht unbedingt mit der Intervalllänge h machen.
Deine Beispielaufgabe funktioniert da nämlich sogar noch unkomplizierter, da der passende Differenzenquotienten inkl. Intervall eigentlich schon direkt ablesbar ist:



Siehst du es jetzt ?
Kathi_R Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde das folgendermaßen deuten:

Diese Funktion ist genau das, was rauskommt, wenn ich den Differentialquotienten von der e-Funktion mit x=0 und h=x berechne.
Also entspricht meine Funktion der Ableitung von , deren Grenzwert für ich berechnen kann? Der ist gleich 1.

Super, vielen Dank!

Nur habe ich gerade Schwierigkeiten damit, mir das bildlich vorzustellen.

Die e-Funktion kenne ich ja. Wenn ich nun eine Sekante bilde von den Stellen 0 und 1, entspricht das meinem Differentialkoeffizienten. Warum kriege ich denn da nicht einfach eine lineare Funktion raus? Hätte gedacht, eine Sekantengleichung müsste die Form y=ax+b haben - wo ist denn da der Zusammenhang zu meiner Aufgabe?
Oder liegt das nur daran, dass ich dabei nicht wirklich zwischen Differentialkoeffizient und Ableitung unterscheide? Ersterer ist der durchschnittliche Anstieg auf einem Intervall. Letztere gibt an, wie ich die Steigung für ein bestimmtes x ausrechnen kann.

Vielen Dank nochmal!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also entspricht meine Funktion der Ableitung von , deren Grenzwert für ich berechnen kann? Der ist gleich 1.


Genau. Das Entscheidende ist halt, eine passende "Hilfsfunktion" zu finden, die dann hoffentlich sehr viel umgänglicher ist und keine Probleme mehr bei der Grenzwertbetrachtung macht (und genau das ist ja dann hier bei e^x der Fall).

Zitat:
Wenn ich nun eine Sekante bilde von den Stellen 0 und 1, entspricht das meinem Differentialkoeffizienten.


Du meinst wohl Differenzenquotient, denn nur das passt auch zur Sekante.
Differentialquotient beinhaltet schon eine Grenzwertbetrachtung und passt daher zur Tangentensteigung.

Zitat:
Warum kriege ich denn da nicht einfach eine lineare Funktion raus?


Naja diese Differenzen- bzw. Differentialquotienten liefern ja lediglich die Steigung in bestimmten Intervallen bzw. Stellen und nicht die komplette Sekanten- oder Tangentengleichungen.
 
 
Kathi_R Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, vielen Dank für deine Antworten:

"Differentialquotient beinhaltet schon eine Grenzwertbetrachtung und passt daher zur Tangentensteigung."

Warum beinhaltet dieser bereits eine Grenzwertbetrachtung?
Und dürfte ich (rein theoretisch) auch den Differentialquotienten anwenden, wenn ich ein Intervall wie z.B. ]0,1] habe und dann f(0) in die Gleichung einsetzen muss? Denn wenn meine Funktion an dieser Stelle nicht stetig ist, kommt da ja nur Blödsinn raus...

Vllt nochmal etwas konkreter ausgedrückt.
Wenn ich den Differentialkoeffizienten habe, müssen dann und in meinem Definitionsbereich liegen?

Hoffe, diese Frage ist nicht allzu dämlich - aber bei Grenzwerten ist mir nie so klar, wann der Wert innerhalb des Def-Bereichs sein muss oder wann er auch auf dem Rand sein darf.

Viele Grüße!
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