Mächtigkeit der Zahlensysteme

18.08.2013, 20:12

Kimyaci

Mächtigkeit der Zahlensysteme

Da ich nur einen Vorkurs besuche möge man es mir nachsehen, falls die Definitionen nicht ganz exakt sind. Die Defintion der Mächtigkeit:

"Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, falls es eine bijektive Abbildung f: A -> B gibt."

Und weiterhin die Definition der Abzählbarkeit:

"Eine Menge M heißt abzählbar, falls $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ gleichmächtig zu M ist. Ist M weder endlich noch abzählbar, so heißt M überabzählbar."

Nun versteh ich nicht so ganz wieso die Mengen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z, \mathbb Q \end{eqnarray*}$ abzählbar sind, aber $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht abzählbar ist. verwirrt

18.08.2013, 20:21

micha_L

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RE: Mächtigkeit der Zahlensysteme
Hallo,

Zitat:

Original von Kimyaci
[...]
Nun versteh ich nicht so ganz wieso die Mengen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z, \mathbb Q \end{eqnarray*}$ abzählbar sind, aber $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht abzählbar ist. verwirrt

Weil es Bijektionen (jeweils mindestens eine) zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt, aber keine zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ geben kann.

Um dich fortzubilden:
Eine geeignete Bijektion von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ sollte dir auch selbst einfallen!
Eine geeignete Bijektion von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ermittelt man mit etwas mehr Background durch Cantors (1.) Diagonalargument und mit seinem 2. beweist man, dass im letzten Fall KEINE Bijektion geben kann.

Ist alles übrigens gut zu googlen!

Mfg Michael

18.08.2013, 20:34

Kimyaci

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