Konvergenzbeweis

18.08.2013, 23:12	Naryxus	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzbeweis Edit opi: Titel geändert. "n!>(n/2)^(n/2)" läßt sich in der Übersicht schlecht lesen. Hallo, ich muss für einen Konvergenzbeweis zeigen, dass $\begin{eqnarray} n! > \left( \frac{n}{2} \right) ^{\left( \frac{n}{2} \right) } \end{eqnarray}$ ist. Ich habe so halb den Ansatz gefunden, dass $\begin{eqnarray} n! \geq n(n-1)(n-2) \cdots (\frac{n}{2}) \geq \left( \frac{n}{2} \right) ^{\left( \frac{n}{2} \right) } \end{eqnarray}$ . Ist die Überlegung soweit korrekt? Grüße, Naryxus
18.08.2013, 23:44	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Überlegung ist schon ganz gut, du müsstest aber eventuell zwischen geraden und ungeraden $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ unterscheiden.
19.08.2013, 11:12	Naryxus	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Also habe ich dann in etwa: $\begin{eqnarray} \begin{cases}<br /> n! \geq n(n-1)(n-2) \cdots \left(\frac{n}{2}\right) \geq \left(\frac{n}{2}\right)^{\left(\frac{n}{2}\right) } & n \text{ gerade}\\<br /> n! \geq n(n-1)(n-2) \cdots \left(\frac{n - 1}{2}\right) \geq \left(\frac{n - 1}{2}\right)^{\left(\frac{n - 1}{2}\right) } & n \text{ ungerade}\\<br /> \end{cases}<br /> \end{eqnarray}$ Ist das so richtig? Grüße
19.08.2013, 11:27	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gerade ist das richtig. Für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ungerade reicht das so noch nicht, denn $\begin{eqnarray} \left (\frac{n-1}{2}\right )^{\left (\frac{n-1}{2}\right )} \end{eqnarray}$ ist ja schließlich kleiner als $\begin{eqnarray} \left (\frac{n}{2}\right )^{\left (\frac{n}{2}\right )} \end{eqnarray}$ . Da hast du aber auch nicht alles rausgeholt. Betrachte mal: $\begin{eqnarray} n! \geq n(n-1)\cdots(n-\frac{n-1}{2}) \end{eqnarray}$ . Wieviele Faktoren hast du auf der rechten Seite? Was für eine Abschätzung ergibt sich?
19.08.2013, 17:05	Naryxus	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann müsste ich $\begin{eqnarray} n! \geq n(n - 1)(n - 2) \cdots (n - \left(\frac{n-1}{2}\right) ) \geq \left(\frac{n + 1}{2}\right)^{\left(\frac{n + 1}{2}\right)} \geq \left(\frac{n}{2}\right)^{\left(\frac{n}{2}\right) } \end{eqnarray}$ haben oder? Grüße
19.08.2013, 18:20	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja
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