Konvergenz und Grenzwert

19.08.2013, 18:29	küb	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz und Grenzwert Meine Frage: Hallo Leute, ich soll untersuchen, ob die Reihe konvergiert und ggf. die Summe der Reihe bestimmen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{3}{4^{k} } \end{eqnarray}$ Eine Folge konvergiert ja, wenn ein Grenzwert existiert.. Ich weiß schon, dass der Grenzwert 1 ist, meine Frage ist jetzt: Muss ich einfach Werte für k einsetzen und schauen, wie sich die Folge verhält? Also $\begin{eqnarray} \frac{3}{4^{1}} + \frac{3}{4^{2}} + \frac{3}{4^{3}} + \frac{3}{4^{4}} + \frac{3}{4^{5}} ... \end{eqnarray}$ Und diese Summe nähert sich ja immer weiter dem Ergebnis 1. Meine Ideen:
19.08.2013, 18:39	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, schau mal in deinem Skript, ob ihr die geometrische Summenformel schon bewiesen habt. Hier hilft dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty q^k =\frac{q}{1-q} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|q\|<1 \end{eqnarray}$ Falls nein würde ich die Formel einfach schnell selbst beweisen. Gruß Shipwater
19.08.2013, 18:53	küb	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das kommt mir bekannt vor Allerdings hatten wir nicht $\begin{eqnarray} =\frac{q}{1-q} \end{eqnarray}$ sondern $\begin{eqnarray} =\frac{1}{1-q} \end{eqnarray}$ Edit: Wobei deins ja logischer ist..
19.08.2013, 18:55	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Es kommt halt darauf an ob die Summe bei k=0 startet oder erst bei k=1. Bei letzterem gilt meine Formel, bei ersterem deine. Gruß Shipwater
19.08.2013, 18:57	küb	Auf diesen Beitrag antworten »
Achsoo, okay. Dann ist auch klar, wie die 1 zustande kommt. 3* 1/3 = 1 Danke schön

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