Klausurvorbereitung Analysis 2-Fixpunktsatz, Differenzierbarkeit

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Nici 5 Auf diesen Beitrag antworten »
Klausurvorbereitung Analysis 2-Fixpunktsatz, Differenzierbarkeit
Meine Frage:
Hallo, ich bin mir an zwei Stellen bei der gestellten Probeklausur unsicher und leider haben wir keine Lösung erhalten. Ich weiß, dass normalerweise keine Aufgaben vorgerechnet werden. Aber um Lösungsskizzen bei meinen Fragen wäre ich super dankbar.
1. Bei der Aufgabe weiß ich nicht wie ich die Existenz der partiellen Ableitung erkenne und wie ich die Diffbarkeit der Funktion f widerlege oder zeige:Betrachten f: -->

f(x,y)=0 falls (x,y)=(0,0)
falls (x,y)ungleich (0,0)
Berechnen sie, falls exisieren die partielle Ableitungen bzgl x und y an (0,0).
Ist f diffbar?


Bei der Aufgabe zum Finktpunktsatz, weiß ich nicht genau wie ich zeige, dass f eine Kontraktion sein soll:
Betrachten f: -->
f(x,y)= ]

Meine Ideen:
Für jede Hilfe bin ich echt dankbar. smile
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klausurvorbereitung Analysis 2-Fixpunktsatz, Differenzierbarkeit
Die partiellen Ableitungen kannst du mithilfe des Differentialquotienten bestimmen, über den sie definiert sind.
Und notwendig für Differenzierbarkeit ist Stetigkeit.
Eine andere übliche Methode, Differenzierbarkeit zu widerlegen, ist das Berechnen einer Richtungsableitung, mit der man einen Zusammenhang zwischen dem Gradienten und Richtungsableitungen widerlegt (der bei Differenzierbarkeit erfüllt wäre).

Und
Und das aus der zweiten Aufgabe ist gar keine Kontraktion...
Nici 5 Auf diesen Beitrag antworten »

Also reichte es für die partielle Ableitung die Grenzwerte auszurechnen, die in diesem Fall 0 wären? Und für die Diffbarkeit überprüfe ich dann noch die Stetigkeit. Für welche Funktion muss ich dann die Stetigkeit für die Diffbarkeit nachweisen, die Ableitung oder meine normale angegebene Funktion?
Ich habe mich vertippt bei der 2. Aufgabe soll es ein Fixpunkt im Intervall [-1,1]^2 geben.
Ich kann mir schwer vorstellen wie man die Kontraktion im mehrdimensionalen Raum zeigen soll. Im 1 Dimensionalenraum hätte ich den Mittelwertsatz verwendet, aber hierfür habe ich keine Idee.
Danke für die Antwort smile
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Frage kannst du dir selbst beantworten... Wenn differenzierbar ist, welche Funktion muss dann stetig sein?

Und im Mehrdimensionalen hast du auch eine Form des Mittelwertsatzes, die du anwenden kannst. Bzw. den sogenannten Schrankensatz.
Außerdem musst du zeigen, dass auf sich selbst abgebildet wird.
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