Integration

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19.08.2013, 19:20	integer12	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration Hallo ich habe gerade probleme bei einer Aufgabe: Berechnen sie das Integral: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! \frac{sin^5 x}{cos^4 x} \, dx \end{eqnarray}$ Kann mir jemand sagen wie ich dieses Integral berechnen kann?
19.08.2013, 19:26	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibe $\begin{eqnarray} sin^5(x)=sin(x)sin^4(x) \end{eqnarray}$ Substituiere außerdem cos(x)=u Reicht das mal als Einstieg?
19.08.2013, 19:39	integer12	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_a^b \! \frac{sin xsin^4 x}{cos^4 x} \, dx \end{eqnarray}$ u = cos x du = -sin x dx dx = du /-sin x $\begin{eqnarray} \int_a^b \! \frac{sin xsin^4 x}{u^4 (-sinx )} \, du \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_a^b \! \frac{sin^4 x}{-u^4} \, du \end{eqnarray}$ WIe gehe ich weiter vor falls das richtig ist?
19.08.2013, 19:42	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist soweit richtig. Das Minus würde ich schonmal vor das Integral ziehen. Für den Sinus -> denke an den trigonometrischen Pythagoras .
19.08.2013, 19:45	integer12	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} - \int_a^b \! \frac{sin^4 x}{u^4} \, du \end{eqnarray}$ Der trigonometrische Pythagoras ist doch: cos^2 x +sin^2 x = 1 Aber wie soll ich denn hier anwenden?
19.08.2013, 19:49	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Forme nach sin²(x) um. Was muss dann getan werden um sin^4(x) zu ersetzen?
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19.08.2013, 19:53	integer12	Auf diesen Beitrag antworten »
sin^2 x = 1- cos^2 x $\begin{eqnarray} - \int_a^b \! \frac{sin^2 xsin^2 x}{u^4} \, du \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} - \int_a^b \! \frac{(1-u^2) (1-u^2 )}{u^4} \, du \end{eqnarray}$ Jetzt weiss ich aber schon wieder nicht weiter ? Hartes Integral.
19.08.2013, 20:01	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Yup, das ist richtig. Mein Vorschlag -> Löse den Binom im Zähler auf. Dann schreibe den Bruch als drei Summanden. Summandeweise vollens zu integrieren sollte kein Problem bereiten.
19.08.2013, 20:16	integer12	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} - \int_a^b \! \frac{(u^4 - 2u^2+1)(u^4 - 2u^2+1)}{u^4} \, du \end{eqnarray*}$ Wäre das so richtig ? Aber was mache ich genau weiter ?
19.08.2013, 20:18	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist nicht richtig. Beachte (1-u²)(1-u²)=(1-u²)² Nun versuche es erneut.
19.08.2013, 20:22	integer12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah stimmt . $\begin{eqnarray} - \int_a^b \! \frac{(u^4 -2u^2 +1}{u^4} \, du \end{eqnarray}$ Was mache ich jetzt genau?
19.08.2013, 20:24	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Splitte den Bruch. Bilde drei Summanden .
19.08.2013, 20:29	integer12	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt das Integral?
19.08.2013, 20:30	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Der erste Summand ist korrekt. Die beiden folgenden nicht. Wie kommst du auf Logarithmus?
19.08.2013, 20:33	integer12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab ich die summanden jetzt richtig integriert ?
19.08.2013, 20:35	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim ersten ist das Vorzeichen falsch. Das letztere stimmt aber.
19.08.2013, 20:41	integer12	Auf diesen Beitrag antworten »
Rücksubstituiert wäre doch das mein Integral oder?
19.08.2013, 20:47	integer12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke mal das das ergebnis richtig ist. Danke Equester auf jeden fall für deine Hilfe.
19.08.2013, 20:54	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Verzeih das Telefon, Du hast beim zweiten und dritten Summanden das Vorzeichen vertauscht, sonst aber passt es. Auch sehr schön das +c! Ach der Fehler liegt schon davor -> Du hast den Bruch in drei Summanden aufgespalten. Das war gut. Doch bezieht sich das Minus (das wir iwann mal vor das Integral gezogen haben) auf alle drei Summanden! Du hast es aber nur beim ersten berücksichtigt.

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