Integral Lösung richtig so?

20.08.2013, 02:03

Mathelover

Integral Lösung richtig so?

Hallo Freunde,

ich habe hier eine Lösung von einem Integral vor mir liegen, bin aber mit der Lösung nicht zufrieden.

Ich versuche den Substitutionssatz zu verwenden. Also muss ich mir ein f(x) und ein t(x) definieren.

Sei mein $\begin{eqnarray*} t(x) = 2x \end{eqnarray*}$ und es gelte $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx} = 2 \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} dt = 2dx \end{eqnarray*}$

Aber was ist jetzt mein f(x)?

Meiner Meinung nach macht nur $\begin{eqnarray*} f(x) = sin(x) \end{eqnarray*}$ sinn. Aber dann geht das ganze so weiter:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}sin(2x)*2\ dx = \int_{0}^{2a} sin(2x) = \left [ -cos(2x) \right ]_0^{2a} \end{eqnarray*}$

Wie kommen die auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Etwa weil $\begin{eqnarray*} -cos(2x) \end{eqnarray*}$ abgeleitet = $\begin{eqnarray*} 2*sin(2x) \end{eqnarray*}$ ergibt und die 2 verschwinden muss? verwirrt

Weil aus dem Substitutionssatz ist das nicht ersichtlich, dass da direkt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ folgt. Sieht man das nicht später? Warum schreiben direkt nach dem ersten Gleicheitszeichen ein $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ?
Diese Musterlösungen kann man echt wegwerfen...

Ich bitte um Aufklärung verwirrt

20.08.2013, 03:43

schultz

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weil aus deiner substitution folgt $\begin{eqnarray*} dx=\frac{1}{2}dt \end{eqnarray*}$ , daher kommt das 1/2

20.08.2013, 12:38

Mathelover

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RE: Integral Lösung richtig so?
Dann macht aber das erste in der Musterlösung keinen Sinn.

Ich erhalte nämlich:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}sin(2x)*2\ dx \end{eqnarray*}$

Die schreiben:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}sin(2x)\ dx \end{eqnarray*}$

Der Substitutionssatz lautet nämlich:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}f(\phi(x))\ * {\phi}'(x) dx=... \end{eqnarray*}$

Die haben den Satz ca. so verwendet:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}f(\phi(x))\ dx=... \end{eqnarray*}$

verwirrt

20.08.2013, 12:47

Guppi12

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Das zu berechnende Integral ist doch

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}sin(2x) dx \end{eqnarray*}$ oder nicht?

Du kannst da doch nicht einfach eine 2 hintenanhängen und erwarten, dass das richitge bei rauskommt? Deine Musterlösung macht das schon richtig, hat nur einen Schritt weggelassen.

Es gilt

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}sin(2x)*2\ dx = \int_{0}^{a}\frac{1}{2}sin(2x)*2\ dx \end{eqnarray*}$ .

Dieser Schritt wurde in der Musterlösung "im Kopf" gemacht. Siehst du jetzt, warum das 1/2 richitg ist?

20.08.2013, 12:54

Mathelover

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Zitat:

Original von Guppi12
Das zu berechnende Integral ist doch

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}sin(2x) dx \end{eqnarray*}$ oder nicht?

Du kannst da doch nicht einfach eine 2 hintenanhängen und erwarten, dass das richitge bei rauskommt? Deine Musterlösung macht das schon richtig, hat nur einen Schritt weggelassen.

Es gilt

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}sin(2x)*2\ dx = \int_{0}^{a}\frac{1}{2}sin(2x)*2\ dx \end{eqnarray*}$ .

Dieser Schritt wurde in der Musterlösung "im Kopf" gemacht. Siehst du jetzt, warum das 1/2 richitg ist?

Danke für deine Antwort.

Der Substitutionssatz verlangt doch gerade, dass ich da eine 2 anhänge.

$\begin{eqnarray*} \int_{a)}^{b}f(\phi(x))\ * {\phi}'(x) dx= \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \phi(x) = 2x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {\phi}'(x)= 2 \end{eqnarray*}$

Oder hab ich den Satz falsch verstanden?

20.08.2013, 13:03

Guppi12

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Nein, die Substitutionsregel verlangt nicht, dass du eine 2 anhängst. Die Substitutionsregel liefert eine Berechnungsmöglichkeiten für Integrale, die in der richtigen Form sind. Natürlich kannst du nicht einfach dein Integral verändern (damit hat es doch einen ganz anderes Wert, wie soll denn da noch das richtige rauskommen?), um auf die richtige Form zu kommen.

Was allerdings schon legitim ist, ist das Integral zu verändern, ohne den tatsächlichen Wert zu ändern, wie es in der Musterlösung geschehen ist. Dort wurde nämlich nicht einfach so mit 2 multipliziert, sondern mit 1/2 * 2, was also keine Veränderung darstellt.

20.08.2013, 13:07

Mathelover

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Also gibt mir die Substitionsregel nur an eine Möglichkeit, das Integral "anderst" aufzuschreiben um dann mit dem Satz das Integral zu berechnen?

Dann könnte ich mir doch folgendes merken:

$\begin{eqnarray*} \int_{a)}^{b}\frac{1}{{\phi}'(x)}*f(\phi(x))\ * {\phi}'(x) dx=... \end{eqnarray*}$

Somit würde ich den Wert des Integrals nie verändern. Das dürfte doch in den meisten Fällen gelten, oder?

20.08.2013, 13:12

Guppi12

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Nein, das würde ich mir im allgemeinen nicht so merken.

Das gilt nur, wenn $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ eine affine Funktion ist. Denk mal ein bisschen darüber nach und versuch dir klar zu machen, wieso das so ist.

20.08.2013, 13:24

Mathelover

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Wenn $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ eine quadratische funktion sei, würde das doch auch klappen.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \phi = x^2+1<br /> {\phi}'(x) = 2x<br /> <br /> \frac{1}{2x} * 2x \end{eqnarray*}$

heben sich doch auch auf?

20.08.2013, 13:40

Guppi12

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Das ist auch nicht das Problem.

Das Problem ist folgendes:

Ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ affine Funktion, so ist $\begin{eqnarray*} \phi ' \end{eqnarray*}$ nur noch eine Konstante. Die kann man mittels der Faktorregel vor das Integral ziehen. Wenn $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ affin ist, hängt es nicht mehr von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ab, ich werde das mal verdeutlichen, indem ich gleich $\begin{eqnarray*} \phi' \end{eqnarray*}$ schreibe, wenn normalerweise $\begin{eqnarray*} \phi '(x) \end{eqnarray*}$ da stehen müsste. Es gilt

$\begin{eqnarray*} \int_a^bf(\phi(x)) dx = \int_a^b\frac{1}{\phi '(x)}f(\phi(x))\phi '(x) dx = \frac{1}{\phi '}\int_a^bf(\phi(x))\phi '(x) dx = \frac{1}{\phi '}\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}f(u)du \end{eqnarray*}$ .

Das funktioniert so bei nicht affinen Funktionen nicht mehr.

20.08.2013, 14:11

Mathelover

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Vielen Dank für die Antworten smile

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