Einheiten Gruppe F_19 Elemente der Ordnung 3

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Einheiten Gruppe F_19 Elemente der Ordnung 3
Meine Frage:
Hallo Leute, folgendes:

Die multiplikative Gruppe enhtält 3 Elemente der Ordnung 3.

Wahr/falsch?


Meine Ideen:
Also ich weiß, dass ist und das zyklisch ist. Zyklische Gruppen haben zu jedem Teiler der Gruppen Ordnung genau eine Untergruppe. Diese ist dann auch zyklisch. 3 teil 18, also gibt es eine Untergruppe der Ordnung 3, da diese auch zyklisch ist, wird so von einem Element der Ordnung 3 erzeugt.

Oder mit Cauchy. Ist p prim und teilt die Gruppenordnung, dann existiert ein Element mit dieser Ordnung. 3 ist prim und teilt die Ordnung also gibt es ein Element mit der Ordung 3.

So ich weiß jetzt aber nur, dass es Element der Ordnung gibt. Wie kann ich auf weitere schließen?

Die Lösung sagt nämlich, dass es genau 2 gibt!

Danke für die Hilfe!!!
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

deine Überlegungen bis jetzt sind gut.
Überleg dir noch folgendes:
Warum enthält die Gruppe der Ordnung 3 alle Elemente der Ordnung 3?
(Allgemein: Warum sind alle Elemente der Ordnung p in der Vereinigung aller Untergruppen der Ordnung p enthalten?)
Wieviele Elemente der Ordnung p enthält die zyklische Gruppe der Ordnung p?

P.S.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Warum enthält die Gruppe der Ordnung 3 alle Elemente der Ordnung 3 ??

Ich komm nicht drauf Hammer Sorry
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Lagrange...
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Das dachte ich mir schon, aber ich kann daraus noch nicht schließen, dass alle Elemente der Ordnung 3 in der Untergruppe der Ordnung 3 sind.

Wenn ich eine Gruppe habe und so dann existiert ein Element der Ordnung 3 wegen Cauchy. Dieses Element erzeugt eine Untergruppe der Ordnung 3, diese teilt ebenfalss die Ordnung der gesamt Gruppe, das sagt Lagrange.

sehe irgendwie nicht, warum nicht noch eine Gruppe existieren kann, die auch ein Element der Ordnung 3 hat.
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
sehe irgendwie nicht, warum nicht noch eine Gruppe existieren kann, die auch ein Element der Ordnung 3 hat.

Weder habe ich das behauptet noch stimmt das.

Worum es hier geht, ist dass alle Elemente der Ordnung 3 bereits in der einen Untergruppe mit Ordnung 3 enthalten sind.
(Allgemein: Jedes Element der Ordnung ist Element einer Untergruppe der Ordnung p).
Ich hoff der Unterschied dieser beiden Behauptungen ist klar.
 
 
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Also hier gibt es ja nur eine Untergruppe der Ordnung 3. Weil es bei zyklischen Gruppen zu jedem Teiler k der Gruppenordnung "genau eine" Untergruppe der Ordnung k gibt.

Und ein Element der Ordnung 3 kann nur in einer Gruppe der Ordnung 3 sein. (stimmt das?)

also sind alle Elemente der Ordnung 3 in der Untergruppe der Ordnung 3.

Sei U diese Untergruppe dann ist das erzeugende Element da drin, das Einselement und noch eines. Woher weiß ich, dass auch dieses Ordnung 3 hat? Dann hätte ich genau 2, wie in der Lösung.
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und ein Element der Ordnung 3 kann nur in einer Gruppe der Ordnung 3 sein. (stimmt das?)

Nein. Elemente der Ordnung 3 sind auch in Gruppen der Ordnung 6,9,12,...

Die Gruppe der Ordnung 3 enthält bereits alle Element der Ordnung 3. Das heißt nicht, dass diese Elemente nicht auch woanders sein können.
Oder nochmal anders:
Sei A die Menge aller Elemente der Ordnung 3 der Gruppe , U die Untergruppe der mächtigkeit 3.
Dann gilt: , das ist hier das Entscheidende.
Es gilt aber z.B. offensichtlich auch ,

Zitat:
Sei U diese Untergruppe dann ist das erzeugende Element da drin, das Einselement und noch eines. Woher weiß ich, dass auch dieses Ordnung 3 hat? Dann hätte ich genau 2, wie in der Lösung.

Ist U multiplikativ? Dann ist 1 drin.
Welche Ordnungen können denn Elemente einer Gruppe der Ordnung 3 nur haben?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Die Elemente haben Ordnung 1 oder Ordnung 3!
watcher Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

aber das 1 Element ist das Einzige mit Ordnung 3, dann muss es da noch eines geben mit Ordnung 3. Also genau 2, da bereits alle mit Ordnung 3 da drin sind (auch wenn sie noch woanders zusätzlich drin sind, die Untergruppen sind ja nicht zwingend disjunkt)

Noch mal allg.

Wenn ich eine Gruppe der Ordnung 6 habe, sind dann auch alle Elemente der Ordnung 6 bereits in dieser drin?

Oder gilt das nur für Primzahlen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Generellt gilt in einer endlichen zyklischen Gruppe mit Elementen:


Zu jedem Teiler gibt es genau eine Untergruppe mit Elementen. Diese ist wieder zyklisch und besteht genau aus den Lösungen von (Die Gruppe sei additiv geschrieben). Insbesondere enthält sie also alle Elemente der Ordnung ( Stück).
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme mal an, dass meint die Euler Phi Funktion.

Bei Stück wird das 1 Element nicht dazu gezählt, also nur die mit Ordnung d oder?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und Ja.
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