Komplexe Differentialgleichung

20.08.2013, 11:18

pea

Auf diesen Beitrag antworten »

Komplexe Differentialgleichung

Hallo liebes Forum,

ich sitze gerade hier und büffele für die letzte Mathe Klausur in meinem Studium.
Bei der Klausur im Sommer kam eine Differentialgleichung dran, die ich absolut nicht lösen kann. Leider habe ich auch keine Musterlösung und hoffe, dass ihr mir dabei helfen könnt.

Ich habe die Aufgabe in den Dateianhang gehängt.

Was mir bis jetzt klar ist:

- das -k ist eine Konstante und kann also am Schluss aus dem Integral rausgezogen werden
- ich muss versuchen die Klammer aufzulösen und T und Tvo zu trennen.
- der Hinweis unten ist die Lösung des Integrals, welches ich am Schluss da stehen haben sollte.

Hab jetzt schon verschiedene Sachen probiert aber komme nicht auf diese Form aus dem Hinweis.

Wäre super wenn jemand eine Idee hat!

Danke euch! smile

smile

20.08.2013, 11:42

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Komplexe Differentialgleichung

Zitat:

Original von pea
ich sitze gerade hier und büffele für die letzte Mathe Klausur in meinem Studium.

Dann kann die Frage aber auch in den Hochschulbereich.

Jedenfalls sieht es so aus, als würde man eine Variation der Konstanten erwarten.

Edit: Das ist übrigens keine "komplexe" Differentialgleichung.

20.08.2013, 11:51

pea

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid. Das mit dem falschen Themenbereich habe ich auch gemerkt.

Könnte das ein Admin verschieben?

Der Thema-Titel war auch schlecht gewählt das Wort "komplex" sollte man eher als persönliche Einschätzung verstehen. Hammer

Hammer

Hoffe mir kann trotzdem geholfen werden! Danke.

20.08.2013, 12:08

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bist du aber gar nicht auf das Stichwort "Variation der Konstanten" eingegangen...
In welchen Fällen benutzt man das Verfahren denn? Was muss vorher getan werden?

20.08.2013, 14:23

pea

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
Jetzt bist du aber gar nicht auf das Stichwort "Variation der Konstanten" eingegangen...
In welchen Fällen benutzt man das Verfahren denn? Was muss vorher getan werden?

Man man man.. das hab ich total überlesen.
Mit der Variation der Konstanten würde man doch zuerst die homogene Gleichung lösen. Da bin ich mir aber schon unsicher was der homogene Teil ist.
Einfach das -k weglassen? Aber eigentlich muss man doch dann ein =0 einsetzen.

dT/dt = T-Tvo*sin(t)

wäre das die homogene Gleichung?

20.08.2013, 14:34

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Ausmultipliziert wäre die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \frac\dd{\dd t}T=-kT+kT_{U_0}\sin t\,. \end{eqnarray*}$
Ich gehe mal davon aus, dass $\begin{eqnarray*} T_{U_0} \end{eqnarray*}$ eine Konstante ist.
Der inhomogene Term/Störterm ist dann $\begin{eqnarray*} kT_{U_0}\sin t \end{eqnarray*}$ . Den lässt man weg, um die homogene Gleichung zu erhalten.

Anzeige

20.08.2013, 14:40

pea

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
Nein. Ausmultipliziert wäre die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \frac\dd{\dd t}T=-kT+kT_{U_0}\sin t\,. \end{eqnarray*}$
Ich gehe mal davon aus, dass $\begin{eqnarray*} T_{U_0} \end{eqnarray*}$ eine Konstante ist.
Der inhomogene Term/Störterm ist dann $\begin{eqnarray*} kT_{U_0}\sin t \end{eqnarray*}$ . Den lässt man weg, um die homogene Gleichung zu erhalten.

Danke! Habe ich auch gerade gemerkt, denn Tu0 hat ja nichts mit der Temperatur des Körpers oder der Zeit zu tun. Vielleicht reicht mir das schon um die Aufgabe ganz zu lösen ich muss nochmal rumprobieren und melde mich bei weiteren Fragen.

20.08.2013, 15:15

pea

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von pea

Zitat:

Original von Che Netzer
Nein. Ausmultipliziert wäre die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \frac\dd{\dd t}T=-kT+kT_{U_0}\sin t\,. \end{eqnarray*}$
Ich gehe mal davon aus, dass $\begin{eqnarray*} T_{U_0} \end{eqnarray*}$ eine Konstante ist.
Der inhomogene Term/Störterm ist dann $\begin{eqnarray*} kT_{U_0}\sin t \end{eqnarray*}$ . Den lässt man weg, um die homogene Gleichung zu erhalten.

Danke! Habe ich auch gerade gemerkt, denn Tu0 hat ja nichts mit der Temperatur des Körpers oder der Zeit zu tun. Vielleicht reicht mir das schon um die Aufgabe ganz zu lösen ich muss nochmal rumprobieren und melde mich bei weiteren Fragen.

Ok ich komme wohl immer noch nicht weiter. Was wäre der nächste Schritt? Und kann ich nicht auch das sin(t) in die homogene Gleichung packen und dt auf die andere Seite multiplizieren denn ich habe ja dT und dt. Wenn ich aber sin(t) rausfallen lasse, kann ich nicht über dt integrieren da mir die Variable t fehlt.

20.08.2013, 15:17

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Auf die Vollzitate kannst du übrigens verzichten.

Wie sieht denn deine homogene Gleichung nun aus?

Und du kannst auch Konstanten integrieren: $\begin{eqnarray*} \int a\dd t=at+c \end{eqnarray*}$ .

20.08.2013, 15:25

pea

Auf diesen Beitrag antworten »

ok!

nach deiner Methode ohne sin(t) wäre das am Schluss

$\begin{eqnarray*} \frac{dT}{dt} = -T*k \Rightarrow T *dT = k *dt \Rightarrow \int\! T \, dT = \int\! k \, dt \Rightarrow \frac{T^2}{2}=k*t +c \end{eqnarray*}$

20.08.2013, 15:45

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von pea
$\begin{eqnarray*} \frac{dT}{dt} = -T*k \Rightarrow T *dT = k *dt \end{eqnarray*}$

Beim Umstellen ging da etwas schief.
Kennst du vielleicht schon die Lösung einer allgemeinen DGL der Form $\begin{eqnarray*} f'=a\cdot f \end{eqnarray*}$ ?

20.08.2013, 15:58

pea

Auf diesen Beitrag antworten »

ok also ich glaub so müsste es richtig umgestellt sein.

$\begin{eqnarray*} \frac{dT}{dt} = -k*T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{T} *dT = -k *dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{T} \, dT = \int \! -k \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(T)+c1 = -k*t +c2 \end{eqnarray*}$

dann nach T auflösen

$\begin{eqnarray*} T = e^{-k*t} + c \end{eqnarray*}$

20.08.2013, 16:02

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Fast.
Die Konstante ganz am Ende in der Lösung sollte ein Faktor sein, kein Summand.

20.08.2013, 16:17

pea

Auf diesen Beitrag antworten »

ok das kann ich nachvollziehen.
Nächster Schritt wäre ja nun die Variaton der Konstanten.

Ich schreibe also

$\begin{eqnarray*} T= e^{-k*t} * c(x) \end{eqnarray*}$

Kann ich die e Funktion hier noch vereinfachen? -k ist ja meine Konstante.
Wüsste nämlich sonst nicht wie ich die e-Funktion ableiten soll.

20.08.2013, 16:18

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Da sollte natürlich $\begin{eqnarray*} c(t) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} c(x) \end{eqnarray*}$ stehen.

Und $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-kt} \end{eqnarray*}$ kannst du mit der Kettenregel ableiten.

20.08.2013, 17:05

pea

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut ich habe jetzt so weit gerechnet:

Ableitung von T

$\begin{eqnarray*} T=k*e^{-k*t} *c(t)+e^{-k*t} *c'(t) \end{eqnarray*}$

dann T und T' in die Ursprungsgleichung einsetzen:

$\begin{eqnarray*} k*e^{-k*t} *c(t)+e^{-k*t} *c'(t) = -k*e^{-k*t}*c(t) \end{eqnarray*}$

durch kürzen erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} e^{-kt} * c'(t) = g(t) \end{eqnarray*}$

wobei g(t) der inhomogene Teil der DG ist also:

$\begin{eqnarray*} e^{-kt} * c'(t) = k*Tvo*sin(t) \end{eqnarray*}$

Nun muss ich ja nach c'(t) auflösen und dann die Stammfunktion bestimmen. Leider bin ich mir hier wieder unsicher wie das geht.

20.08.2013, 17:12

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Ableiten ist dir zwar ein Vorzeichenfehler passiert (und links steht da natürlich nicht $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ), der hat sich wohl aber mit einem anderen aufgehoben.

Zitat:

Original von pea
$\begin{eqnarray*} e^{-kt} * c'(t) = k*Tvo*sin(t) \end{eqnarray*}$

Multipliziere mit $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{kt} \end{eqnarray*}$ und nutze dann den Hinweis aus der Aufgabenstellung.

20.08.2013, 17:23

pea

Auf diesen Beitrag antworten »

Super! Vielen vielen Dank für die Mühe!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »