Wurzel berechnung

20.08.2013, 14:06

Ehsan.Abbasi

Wurzel berechnung

Meine Frage:
Hallo,
ich sitze seit zwei stunden an eine aufgabe und weiß einfach nicht mehr weiter.
mir fehlt der zwischenschritt.
die Aufgabe ist:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^{2}+6} - \sqrt{n^{2}+1 } =0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich habe erstmal quadriert und habe dann die dritte binomische Formel angewendet.

allerdings weiß ich ein schritt nicht bei der binomischen Formel, und zwar
weiß ich nicht wie ich die Gleichung $\begin{eqnarray*} (\sqrt{n^{2}+6}) * -(\sqrt{n^{2}+1 }) \end{eqnarray*}$ multipliziere unglücklich

sowie die Gleichung $\begin{eqnarray*} -(\sqrt{n^{2}+1 })* (\sqrt{n^{2}+6}) \end{eqnarray*}$

weiß es jemand von euch :S...

20.08.2013, 14:11

Gast11022013

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In welchem Zusammenhang tritt diese Rechnung den auf?
Bringe lieber die eine Wurzel auf die andere Seite und quadriere dann, anstatt direkt zu quadrieren. Dann löst sich dein Problem von alleine.

Das was du da unten stehen hast sind übrigens keine Gleichungen.

20.08.2013, 14:13

Ehsan.Abbasi

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Danke erstmal für dein Hilfe,
du hast recht ich werde das mal ausprobieren!

20.08.2013, 14:15

Ehsan.Abbasi

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das hat was mit konvergenz und grenzwerten zutun,
aber ich bekomme nur den wert 5 raus, da sich n^2 auflöst,
wäre das schon richtig?

20.08.2013, 14:22

Gast11022013

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Von Konvergenz und Grenzwerten habe ich leider nicht so viel Ahnung.

Wenn du die Gleichung auflöst, dann kommst du irgendwann zu einem Punkt wo du

6=1

stehen hast, was natürlich falsch ist. Deshalb ist diese Gleichung nicht lösbar. Sie wird also nie Null.
Das kannst du dir ja auch so überlegen, dass das unter der linken Wurzel immer größer ist als das unter der rechten Wurzel, weshalb da eigentlich nie Null rauskommen kann.

Für $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ sieht das ganze aber anders aus.
Um den Grenzwert zu bestimmen ist tatsächlich die dritte binomische Formel hilfreich.
Erweiter das ganze also dementsprechend. Dann erhältst du einen Bruch und kannst dir weitere Gedanken machen, wieso das nun Null sein muss.

Aber wie gesagt, von Grenzwerten und Konvergenz habe ich nicht wirklich viel Ahnung. An der Stelle kann gerne jemand übernehmen.

20.08.2013, 14:28

Ehsan.Abbasi

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richtig, das 6=1 keine lösung ist,
aber wie kann ich die beiden wurzeln die ich oben geschrieben habe multiplizieren?

wenn ich das weiß, dann kann ich den rest irgendwie schon lösen.

weiß das jemand?

20.08.2013, 14:29

Gast11022013

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Du wendest hier doch die dritte binomische Formel an.

$\begin{eqnarray*} (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \end{eqnarray*}$

Wenn du also richtig erweiterst, dann kannst du die Lösung mehr oder weniger einfach hinschreiben.

20.08.2013, 14:36

Ehsan.Abbasi

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es ist mir klar die dritte binomische formel anzuwenden, allerdings beim multiplikation
weiß ich nicht wie ich $\begin{eqnarray*} (\sqrt{n^{2}+6}) * -(\sqrt{n^{2}+1 }) \end{eqnarray*}$ auflöse
ich wollte die lösung, bzw. wissen wie man das multipliziert...

20.08.2013, 14:41

Gast11022013

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Wie gesagt, das brauchst du eigentlich gar nicht.

Wenn du zwei Wurzeln miteinander multiplizierst, dann kannst du einfach alles unter eine Wurzel schreiben.

Zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2\cdot2}=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+6}\cdot -\sqrt{n^2+1}=-\sqrt{(n^2+6)(n^2+1)} \end{eqnarray*}$

20.08.2013, 14:49

Ehsan.Abbasi

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das was als ergebis unter der wurzel steht, also dein ergebnis,
muss ich wieder die binomische formel einsetzen oder soll ich es nochmal quadieren, sodass die wurzel
raus fällt?

sorry, dass ich so viele fragen habe :S

20.08.2013, 14:51

Ehsan.Abbasi

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ich glaube ich muss erstmal quadrieren und dann die binomische formel einsetzen, oder was meinst du ?

20.08.2013, 14:53

Gast11022013

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Zeig mir mal wie du die dritte binomische Formel anwendest.

Edit: Nein, einfach direkt die binomische Formel.

20.08.2013, 15:02

Ehsan.Abbasi

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so das was du halt berechnet hast:
$\begin{eqnarray*} - \sqrt{(n^{2}+6) * (n^{2} +1) } \end{eqnarray*}$

wenn ich dann die ganz normale binomische formel anwende bekomme ich
$\begin{eqnarray*} - \sqrt{(n^{4} + 7n^{2} + 6 } \end{eqnarray*}$

dann würde ich das quadrieren damit die wurzel entfällt.

20.08.2013, 15:07

Gast11022013

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Damit meinte ich eher wie du die dritte binomische Formel angewendet hast, dass du nun diesen Ausdruck berechnen möchtest.

Diesen Schritt des erweiterns mithilfe der dritten binomischen Formel würde ich gerne sehen.

20.08.2013, 15:13

Ehsan.Abbasi

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sorry aber ich weiß nicht was du meinst unglücklich

20.08.2013, 15:17

Gast11022013

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In irgendeinem Zusammenhang tritt doch die Rechnung auf, die du gerade machen willst und ich würde gerne diesen Zusammenhang sehen.
Dabei gehe ich davon aus, dass du die dritte binomische Formel falsch anwendest (Vorzeichenfehler), aber ohne deinem Rechenweg kann ich dir nicht sagen wo der Fehler steckt. Jedenfalls ist das was du gerade tust alles andere als hilfreich um zum Ergebnis zu gelangen.
Ich würde nun also gerne deinen allerersten Rechenschritt sehen, welcher hoffentlich die dritte binomische Formel ist, oder am besten zeigst du gleich alles was du gerechnet hast. Dann kann man immer noch am besten helfen.

20.08.2013, 15:36

Ehsan.Abbasi

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Als erstes habe ich es erweitert mit der dritten binomischen formel: (a-b)*(a+b)

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{n^{2} +6} + \sqrt{n^{2} + 1})* (\sqrt{n^{2} +6} - \sqrt{n^{2} + 1}) \end{eqnarray*}$

nachdem ich es angewendet habe bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} n^{2} +6 -\sqrt{(n^{2}+6) * (n^{2} +1 )} <br /> + \sqrt{(n^{2}+1) * (n^{2} +6 )} -n^{2} -1 \end{eqnarray*}$

nach zusammen fassen bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} 5 -\sqrt{(n^{2}+6) * (n^{2} +1 )} <br /> + \sqrt{(n^{2}+1) * (n^{2} +6 )} \end{eqnarray*}$

dann würde ich das was in der Wurzel steht, nochmal die binomische formel anweden:
$\begin{eqnarray*} -\sqrt{(n^{2}+6) * (n^{2} +1 )} \end{eqnarray*}$

daraus folgt =>>>> $\begin{eqnarray*} -\sqrt{(n^{4}) * (7n^{2} +6 )} \end{eqnarray*}$

wenn ich das dann quadriere folgt daraus:
$\begin{eqnarray*} -n^{4} - 7n^{2} -6 \end{eqnarray*}$

und wenn ich das mit der anderen wurzel genauso machen würde, dann würde ich 25 bekommen da sich die anderen gegenseitig auflösen...

20.08.2013, 15:37

Ehsan.Abbasi

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Als erstes habe ich es erweitert mit der dritten binomischen formel: (a-b)*(a+b)

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{n^{2} +6} + \sqrt{n^{2} + 1})* (\sqrt{n^{2} +6} - \sqrt{n^{2} + 1}) \end{eqnarray*}$

nachdem ich es angewendet habe bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} n^{2} +6 -\sqrt{(n^{2}+6) * (n^{2} +1 )} + \sqrt{(n^{2}+1) * (n^{2} +6 )} -n^{2} -1 \end{eqnarray*}$

nach zusammen fassen bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} 5 -\sqrt{(n^{2}+6) * (n^{2} +1 )} + \sqrt{(n^{2}+1) * (n^{2} +6 )} \end{eqnarray*}$

dann würde ich das was in der Wurzel steht, nochmal die binomische formel anweden:
$\begin{eqnarray*} -\sqrt{(n^{2}+6) * (n^{2} +1 )} \end{eqnarray*}$

daraus folgt =>>>> $\begin{eqnarray*} -\sqrt{(n^{4}) * (7n^{2} +6 )} \end{eqnarray*}$

wenn ich das dann quadriere folgt daraus:
$\begin{eqnarray*} -n^{4} - 7n^{2} -6 \end{eqnarray*}$

und wenn ich das mit der anderen wurzel genauso machen würde, dann würde ich 25 bekommen da sich die anderen gegenseitig auflösen...

20.08.2013, 15:47

Gast11022013

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Du musst hier ja mit der binomischen Formel erweitern um die Gleichheit zu erhalten. So veränderst du ja den Term.

Richtig müsste es hier so lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(\sqrt{n^2+6}-\sqrt{n^2+1}\right)\left(\sqrt{n^2+6}+\sqrt{n^2+1}\right)}{\left(\sqrt{n^2+6}+\sqrt{n^2+1}\right)} \end{eqnarray*}$

Die dritte binomische Formel wendest du richtig an. Das was du da noch stehen hast ist doch Null wenn du es addierst.

Im Zähler bleibt also nur die 5.

20.08.2013, 15:50

Ehsan.Abbasi

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ahhh ich habe mein fehler gesehen, ich habe bei der ersten "gleichung" vergessen nochmal durch
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^{2}+6 } + \sqrt{n^{2} +1 } \end{eqnarray*}$ zu teilen
und auf den zähler sollte nicht minus sondern plus stehen!
richtig?

20.08.2013, 15:57

Gast11022013

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Zitat:

und auf den zähler sollte nicht minus sondern plus stehen!

Ich weiß nicht genau was du damit meinst.
Deine obige Rechnung ist richtig, du hast lediglich vergessen richtig zu erweitern und dann nicht erkannt, dass dort eine "Null" steht.

Aber wenn du die dritte binomische Formel schon so anwendest, dann musst du doch eigentlich gar nicht mehr rechnen. Du kennst ja das Ergebnis und könntest es auch direkt hinschreiben.

Du solltest nun also

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{\sqrt{n^2+6}+\sqrt{n^2+1}} \end{eqnarray*}$

stehen haben.

Wie man jetzt korrekt zeigt, dass der Limes für n gegen unendlich Null ist, da kann ich dir leider nicht mehr weiterhelfen.
Das der Nenner gegen unendlich geht ist ja klar, wie man es jedoch aufschreibt, da muss dir jemand anders helfen.

Wink

20.08.2013, 16:01

Ehsan.Abbasi

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Dankeee

20.08.2013, 16:12

HAL 9000

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Beim Durchlesen dieses Threads ist es interessant, dass sich keiner mal die Mühe gemacht hat, klar und deutlich hinzuschreiben, dass es nicht um die im Eröffnungsposting genannte Gleichung $\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+6} - \sqrt{n^2+1}=0 \end{eqnarray*}$ geht, sondern um die Bestimmung des Grenzwertes $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+6} - \sqrt{n^2+1}) \end{eqnarray*}$ . Hier war zwar mal von Grenzwert die Rede, aber nie direkt und unmissverständlich, von welchem Term. Der Threadtitel ist in der Hinsicht auch nicht gerade erhellend.

Wenn ihr euch auch so verstanden habt, Ok. Aber etwas befremdlich wirkt das schon. Augenzwinkern

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