Fixpunkt berechnen

20.08.2013, 14:07

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

Fixpunkt berechnen

Meine Frage:
Hallo,
ich benötige dringende Hilfe bei einer Aufgabe
gegeben ist eine funktion

f(x,y)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1+\sqrt{x} \\ 1+\sqrt{y} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

i) zeigen sie, das f genau einen fixpunkt (a,b) hat
ii) beweisen sie, dass der fixpunkt (a,b) der bedingung a=b genügt, indem sie nachweisen, dass auch (b,a) einen fixpunkt ist
iii) Berechnen sie den Fixpunkt mit ii

Meine Ideen:
Ich habe wirklich keine Ahnung wie das geht!!!

20.08.2013, 14:26

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fixpunkt berechnen
Wo ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ denn definiert?

20.08.2013, 14:33

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fixpunkt berechnen
f ist definiert auf f:[1,unendlich)x[1,unendlich)---->R^2

20.08.2013, 14:35

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fixpunkt berechnen
Gut.

Welche Aussage kennst du denn, die etwas wie "genau ein Fixpunkt" liefert? Danach ist ja in i) gefragt.

20.08.2013, 14:56

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fixpunkt berechnen
ich kenn den banachschen fixpunktsatz

20.08.2013, 14:58

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fixpunkt berechnen
Genau.
Und um den anwenden zu können, musst du zwei Voraussetzungen überprüfen.
Fang am besten mit der an de Definitionsbereich an. Ist die erfüllt?

Anzeige

20.08.2013, 15:01

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fixpunkt berechnen
kannst du mir die lösung zukommen lassen? ich schreib morgen Klausur dazu und das ist eine Aufgabe aus ner Probeklausur. wenn ich fragen habe würde ich mich dann melden, weil so eine Aufgabe kommt zu 95 % drin vor =(. ich weiß das man sowas nicht macht, aber es ist wirklich dringend

20.08.2013, 15:02

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fixpunkt berechnen
Ich würd sagen ja, wird ja auf das gleiche abgebildet?

20.08.2013, 15:05

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fixpunkt berechnen
also wird ja auf das selbe abgebildet von [1,unendlich)x[1,unendlich)

20.08.2013, 15:05

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verschicke hier keine Lösungen.

Und dass die Abbildung eine Selbstabbildung ist, muss natürlich auch noch geprüft werden.
Erst meinte ich aber die Abgeschlossenheit des Definitionsbereiches.
Danach kannst du überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Kontraktion ist.

Versuch es einfach mal selbst.

20.08.2013, 15:08

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

ja der definitionsbereich ist abgeschlossen, weil er nicht leer ist

20.08.2013, 15:10

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Die leere Menge ist abgeschlossen. Aber nicht jede nichtleere Menge muss abgeschlossen sein.
In der Klausur würde vielleicht einfach die Feststellung genügen, dass der Definitionsbereich abgeschlossen ist. Sinnvoll wäre es aber natürlich, wenn du dir auch überlegst, wieso das so ist.

20.08.2013, 15:11

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

der Definitionsbereich ist abgeschlossen, weil er nicht leer ist und ne Teilmenge von R^2

20.08.2013, 15:13

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es gibt auch nichtleere Teilmengen des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , die (in der Standardtopologie) nicht abgeschlossen sind.

20.08.2013, 15:13

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

mhh

20.08.2013, 15:51

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Und das war's? Nur ein "mhh"?

20.08.2013, 15:56

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich weiß es immoment nicht -.-

20.08.2013, 15:58

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wie man drauf kommt

20.08.2013, 15:58

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du denn, dass das kartesische Produkt abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist?

Ansonsten kannst du auch erstmal überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Menge $\begin{eqnarray*} [1,\infty)\times[1,\infty) \end{eqnarray*}$ auf sich selbst abbildet. Wähle also $\begin{eqnarray*} (x,y)\in[1,\infty)\times[1,\infty) \end{eqnarray*}$ und überprüfe, ob $\begin{eqnarray*} f(x,y)\in[1,\infty)\times[1,\infty) \end{eqnarray*}$ ist.

20.08.2013, 16:03

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ja das weis ich

20.08.2013, 16:05

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Frage meinst du wohl.
Dann ist dir jetzt klar, wieso der Definitionsbereich abgeschlossen ist?

Und hast du auch eine Idee, wieso $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Selbstabbildung ist?

20.08.2013, 16:41

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

was ne selbstabbildung ist weiß ich. kann man nicht einfach nen wert für x und y einsetzten und gucken, ob das in dem intervall ist? also wenn man z.b die null einsetzt oder ab null aufwärts ist das ja immer größer gleich 1 und dementsprechend im intervall

20.08.2013, 16:45

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab probleme das formell aufzuschreiben. reicht das wenn ich dann schreibe, wegen kartesischen produkt...ist der definitionsbereich abgeschlossen?

20.08.2013, 16:51

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Es kann (!) sogar sein, dass das gar nicht begründet werden muss, weil das eigentlich klar sein sollte. Wenn du aber nicht weißt, dass die bloße Feststellung genügt, solltest du die Aussage aber natürlich begründen. Zum Beispiel so: "Der Definitionsbereich ist als kartesisches Produkt zweier abgeschlossener Intervalle abgeschlossen".

Edit: Zum Beitrag vorher: Die Idee klang gut, aber woher kommt die Null?

20.08.2013, 17:09

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja wenn ich die 1 für zb x einsetze kommt 2 raus. Für y gleich 1 auch. Die null ist ja nicht im def bereich also darf ich die eigentlich nicht nehmen. Und 2 ist auf jeden Fall im intervall. Und alles größer 1 auch. Aber wie schreibe ich das korrekt auf?

20.08.2013, 17:14

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Wappi2
Ja wenn ich die 1 für zb x einsetze kommt 2 raus.

Wo kommt 2 raus?

Naja, $\begin{eqnarray*} (x,y)\in[1,\infty)\times[1,\infty) \end{eqnarray*}$ kannst du mithilfe zweier Ungleichungen ausdrücken: $\begin{eqnarray*} x\geq\dotso \end{eqnarray*}$
Solche Ungleichungen sollst du auch für die Komponenten von $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ überprüfen.

20.08.2013, 18:52

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

je wenn ich x=1 wähle hab ich 1+ wurzel 1 und das ist 2

20.08.2013, 18:52

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und? Das beweist gar nichts.

20.08.2013, 18:56

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

warum? es beweist das es im intervall ist und für jedes x bzw y auch? och man ich verzweifle echt

20.08.2013, 18:59

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(x,y)\in[1,\infty)\times[1,\infty) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (x,y)\in[1,\infty)\times[1,\infty) \end{eqnarray*}$ gilt.
Du hast nur gezeigt, dass die erste Komponente (eine Einschränkung) von $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ für eine spezielle Wahl von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (noch eine Einschränkung) in $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ liegt.

20.08.2013, 19:01

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

aber dann weiß ich nicht wie ich das allgemein zeigen soll

20.08.2013, 19:03

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn zu zeigen? Wie sehen die zu überprüfenden Ungleichungen für die beiden Komponenten von $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ aus?

20.08.2013, 19:05

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

Das f ne selbstabbildung ist. ja einmal f(x)=1+wurzel x und einmal f(y)=1+wurzel y

20.08.2013, 19:08

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas wie $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ gibt es nicht. Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hängt von zwei Variablen ab.

Also nochmal: Welche Ungleichungen müssen die Komponenten von $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ erfüllen, damit $\begin{eqnarray*} f(x,y)\in[1,\infty)\times[1,\infty) \end{eqnarray*}$ gilt?

20.08.2013, 19:10

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

x größer gleich 1+wurzel x ??

20.08.2013, 19:14

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.
Wann ist denn eine Zahl $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ ? Welche Ungleichung muss dazu erfüllt sein?
Wie sieht diese aus, wenn $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ gerade die erste/zweite Komponente von $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ ist?

20.08.2013, 19:16

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

für x größer gleich 1 liegt sie in [1,unendlich) und für y genauso

20.08.2013, 19:20

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollst du ja zeigen...

20.08.2013, 19:22

Wappi2

Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaub wir werden mit dieser aufgabe nie fertig

20.08.2013, 19:26

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du auf nichts eingehst, dann wohl tatsächlich nicht.
Ich frage schon seit geraumer Zeit nach der Ungleichung, welche die erste bzw. zweite Komponente von $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ (meinetwegen auch irgendeine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ) erfüllen muss, um in $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ zu liegen.

Im wesentlichen musst du nur die Definition eines Intervalls wiedergeben und die Definition der Funktion einsetzen.

1234 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »