Abschluss des Bildes

20.08.2013, 15:25

Nobundo

Abschluss des Bildes

meine Frage:
Ich möchte gerne die folgende Implikation zeigen:
Ist $\begin{eqnarray*} f:X\rightarrow Y \end{eqnarray*}$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen, dann folgt: für jede Teilmenge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(\overline{A})\subset \overline{f(A)} \end{eqnarray*}$

mein Ansatz:
Die Urbilder abgeschl. Mengen unter stetigen Abbildiungen sind abgeschl:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\overline{f(A)})=\overline{f^{-1}(\overline{f(A)}}\Rightarrow\overline{f(A)}=f(\overline{f^{-1}(\overline{f(A)}}) \end{eqnarray*}$

20.08.2013, 15:55

Che Netzer

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RE: Abschluss des Bildes
Und jetzt brauchst du nur noch $\begin{eqnarray*} A\subset f^{-1}\bigl(\overline{f(A)}\bigr) \end{eqnarray*}$ .

Edit: Ah ja, da hätte ich die als Idee angegebene Implikation mal überprüfen sollen (siehe watcher).

20.08.2013, 15:58

watcher

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Hallo,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\overline{f(A)})=\overline{f^{-1}(\overline{f(A)}}\Rightarrow\overline{f(A)}=f(\overline{f^{-1}(\overline{f(A)}}) \end{eqnarray*}$

Wie kommst du hier auf Gleichheiten?
Es gilt im Allgemeinen nur $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(N)) \subseteq N \end{eqnarray*}$ .

Die Objekte die du dir anschaust sind allerdings durchaus hier hilfreich.

20.08.2013, 16:11

Nobundo

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ok die Surjektivität hab ich mir wohl irgendwie dazu erfunden, aber mit dem Problem komme ich trotzdem gerade nicht weiter.

20.08.2013, 16:14

Che Netzer

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Hast du auch meine Antwort gelesen? Weißt du, wieso die dort genannte Implikation gilt oder wie sie hier hilft?

20.08.2013, 16:20

Nobundo

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Ja, also das $\begin{eqnarray*} A\subset f^{-1}(\overline{f(A)}) \end{eqnarray*}$ richtig ist sehe ich ein, ich weiss nur nicht wie ich damit weiterkommen kann.

20.08.2013, 16:24

Che Netzer

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Du solltest ja inzwischen bei
$\begin{eqnarray*} \overline{f(A)}\supset f\left(\overline{\color{red}f^{-1}\bigl(\overline{f(A)}\bigr)}\right) \end{eqnarray*}$
angekommen sein. Jetzt musst du den rot markierten Term noch mit der genannten Inklusion bearbeiten und dabei entsprechende Eigenschaften (eine Art Monotonie) von Abschluss und Bild benutzen.

20.08.2013, 16:27

Nobundo

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Ja, ist richtig. Habe es jetzt hinbekommen, danke.

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