Nullstelle Teiler vom Absolutglied

20.08.2013, 15:54	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstelle Teiler vom Absolutglied Meine Frage: Hallo Leute, wenn ich ein Polynom auf NS untersuche, dann kann ich doch schauen, welche Teiler das Absolutglied hat und teste dann diese Teiler durch. An welche Bedingungen ist denn dieses Vorgehen gebunden? Muss das Polynom dafür normiert sein, oder gilt das nur für Polynome über Körpern oder so was?? Meine Ideen: Danke!
20.08.2013, 16:00	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Polynom sollte normiert sein und über einem faktoriellen Ring (meistens $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ ) definiert sein.
20.08.2013, 16:19	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist $\begin{eqnarray} \mathbb Q[X] \end{eqnarray}$ ein faktorieller Ring? müsste doch, da es ein euklidischer Ring ist und jede euklidische faktoriell ist!
20.08.2013, 16:43	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist ein faktorieller Ring, aber meine Intuition sagt mir, dass du hier was verwechselst...
20.08.2013, 16:49	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
was meinst du damit???
20.08.2013, 18:30	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit meine ich, dass die Vorhergehensweise bei Polynomen in $\begin{eqnarray} \mathbb Q[X] \end{eqnarray}$ nicht klappt.
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20.08.2013, 18:32	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gehe ich dann vor? Dachte wegen Gauß reicht es in $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ zu prüfen und dann kann ich ja daraus auf $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ schließen..
20.08.2013, 18:39	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja man kann das Verfahren leicht verallgemeinern: Wenn du ein Polynom mit rationalen Koeffizienten hast, dann multipliziere mit dem Hauptnenner, sodass du nur ganze Koeffizienten (dann aber nicht mehr normiert) hast. Falls das Polynom dann nicht primitiv ist, so teile noch durch den Inhalt. Dann teilt der Nenner jeder rationalen Nullstelle den Leitkoeffitient und der Zähler teilt weiterhin das absolute Glied.
20.08.2013, 19:06	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also ich wollte es jetzt nicht komplizierter machen, als es eh schon ist. Ich muss bei den Aufgaben in der Regel zeigen, dass Polynome irred. in $\begin{eqnarray} \mathbb Q[X] \end{eqnarray}$ sind. Dann reicht es ja zu zeigen, dass sie irred. in $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ sind (Gauß) Da kann ich dann doch nach Teiler des Absolutgliedes schauen. Wenn ich die alle durch habe und das Polynom dann nie Null ergibt und z.B. vom Grad 4 war, muss es in 2 Polynome vom Grad 2 Zerfallen. soweit stimmt das doch oder?
20.08.2013, 19:21	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls das Polynom ganzzahlig und normiert war, so stimmt das.
20.08.2013, 19:25	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
ja!

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