Gebiete, die mit der komplexen Analysis zusammenhängen

20.08.2013, 17:28	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Gebiete, die mit der komplexen Analysis zusammenhängen Ich habe schon einige Male nachgefragt, welche Fächer für meine Ziele besonders geeignet sein könnten und habe dabei etwas immer vergessen: Das Fach, das mir bisher mit Abstand am meisten gefallen hat, war Funktionentheorie/komplexe Analysis. Gibt es irgendwelche Gebiete der Mathematik, die direkt mit der komplexen Analysis zusammenhängen oder zumindest diese voraussetzen? Was könnte ich damit noch anfangen? Gerne würde ich mich noch etwas weiter in die komplexe Analysis vertiefen, da wir nur einen "kurzen Überblick" während eines Semesters hatten und mir das sehr kurz schien. MfG
20.08.2013, 22:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gebiete, die mit der komplexen Analysis zusammenhängen In der Geometrie/Differentialgeometrie wirst du vielleicht Funktionentheorie finden. Als erstes solltest du dir Riemannsche Flächen ansehen. Das sind Mannigfaltigkeiten der komplexen Dimension Eins. Dann kann man z.B. Flächen betrachten, die als das Bild einer Immersion gegeben sind (falls dir das etwas sagt). Anstatt die Immersion auf einer offenen Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ oder auf einer gewöhnlichen Fläche (bzw. reellen Mannigfaltigkeit) zu definieren, kann man sie dann auf einer Riemannschen Fläche definieren. Wenn die Immersion dann z.B. harmonisch ist, ist die parametrisierte Fläche eine Minimalfläche. (du kannst z.B. nach der "Weierstraß-Darstellung" einer Minimalfläche googlen) Ein paar Stückchen Funktionentheorie finden sich auch in der Funktionalanalysis. Z.B. im Beweis, dass das Spektrum eines stetigen Operators nichtleer ist (der benutzt den Satz von Liouville). Es gibt auch den holomorphen Funktionalkalkül, der auf der Cauchy-Formel basiert. Bei dessen Untersuchung benutzt man noch andere Sätze, z.B. den Satz von Weierstraß oder den Approximationssatz von Runge. Aber auch in der Funktionentheorie selbst hast du sicher noch einiges zu entdecken. Besonders schön finde ich z.B. die Sätze von Picard.
20.08.2013, 23:50	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Ergänzend dazu sind algebraische/arithmetische Geometrie sowie analytische Zahlentheorie zu nennen. Siehe z.B. Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I, II und Modulformen.

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