Integral mit sin^2

20.08.2013, 17:52

Mathelover

Integral mit sin^2

Hallo Freunde, habe hier noch ein Integral.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin(2y)}{1+sin^2(y)} dy \end{eqnarray*}$

Also Partielle Integration kommt nicht in Frage.
Ich denke eher an Substitution.

Ich weiß aber nicht was ich substituieren soll, kann mir jemand helfen?

Bringt mir vielleicht das hier was: $\begin{eqnarray*} sin^2(y)+cos^2(y)=1 \end{eqnarray*}$

20.08.2013, 17:54

HAL 9000

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Gemäß Additionstheorem kannst du den Integranden umschreiben zu

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(2y)}{1+\sin^2(y)} = \frac{2\sin(y)}{1+\sin^2(y)}\cdot \cos(y) \end{eqnarray*}$ .

Und dann liegt die Substitution $\begin{eqnarray*} u=\sin(y) \end{eqnarray*}$ auf der Hand.

20.08.2013, 17:55

Che Netzer

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RE: Integral mit sin^2
Kennst du auch $\begin{eqnarray*} \sin(2y)=2\sin y\cos y \end{eqnarray*}$ ?

20.08.2013, 17:58

grosserloewe

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RE: Integral mit sin^2
Wink

Substituiere z= $\begin{eqnarray*} 1+ sin^2(y) \end{eqnarray*}$

Hiermit geht es auch ohne Additionstheoreme

20.08.2013, 18:12

HAL 9000

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RE: Integral mit sin^2

Zitat:

Original von grosserloewe
Hiermit geht es auch ohne Additionstheoreme

Nicht wirklich - an irgendeiner Stelle musst du zu den $\begin{eqnarray*} \sin(2y) \end{eqnarray*}$ kommen, so sehr du es auch verstecken willst.

20.08.2013, 18:12

Mathelover

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RE: Integral mit sin^2
Okay vielen Dank, ich versuchs mal mit der Substitution $\begin{eqnarray*} z = 1+ sin^2(y) \end{eqnarray*}$

grosserloewe kurze Frage noch. Was war dein Gedanke bei der Wahl von $\begin{eqnarray*} 1+sin^2(y) \end{eqnarray*}$

?

Damit ich diesen Gedanken auf andere Aufgaben übertragen kann smile

20.08.2013, 18:23

grosserloewe

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RE: Integral mit sin^2
Wink

@ HAL 9000 : hast Recht , sehe ich ein.
bei der Ableitung meiner Substitution kommt man dann drauf. smile

@Mathelover:

Ich habe mir überlegt, wie Zähler und Nenner zusammenhängen,
so kam ich darauf.(das sich dann etwas kürzen kann , mit dem dz.)
Wenn Du es machst , wirst Du meinen Gedanken verstehen.

smile

20.08.2013, 18:37

Mathelover

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RE: Integral mit sin^2
Also ich habs jetzt mal versucht und komme auf was blödes:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin(2y)}{1+sin^2(y)} dy<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2*sin(y)*cos(y)}{1+sin^2(y)} dy \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} t=sin(y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dy}=cos(y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dy = \frac{1}{cos(y)}*dt \end{eqnarray*}$

Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2*t}{1+t^2} dt=... \end{eqnarray*}$

Und was mach ich jetzt? Sieht nicht schön aus...

20.08.2013, 18:41

grosserloewe

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RE: Integral mit sin^2
Wink

das ist von mir anders gemeint :

Wenn Du " meinen Weg" gehen willst, bitte wende am Anfang KEINE
Additionstheoreme an , sondern substituiere nur.

20.08.2013, 18:42

Mathelover

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RE: Integral mit sin^2
Ah okay, dann noch ein Versuch... moment smile

20.08.2013, 18:53

Mathelover

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RE: Integral mit sin^2
Das ging ja schnell jetzt.

Also:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin(2y)}{1+sin^2(y)} dy \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} t= 1+ sin^2(y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dy} = sin(2y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dy = \frac{1}{sin(2y)} *dt \end{eqnarray*}$

Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin(2y)}{1+sin^2(y)} dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{t} dt= log(t) = log(1+sin^2(y)= log(2) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für eure Antworten.
@grosserloewe um aber sowas zu sehen, also so geschickt zu substituieren muss man schon ein trainiertes Auge haben, oder?

20.08.2013, 19:00

grosserloewe

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RE: Integral mit sin^2
Wink

DANKE

Wenn Du mit log = ln meinst , hast Du Recht.
(Wird hier in diesem Forum wohl so gehandhabt)

smile

20.08.2013, 19:06

Che Netzer

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RE: Integral mit sin^2

Zitat:

Original von Mathelover
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin(2y)}{1+sin^2(y)} dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{t} dt= log(t) = log(1+sin^2(y)= log(2) \end{eqnarray*}$

Im zweiten Integral sind die Grenzen falsch. Wenn die richtig wären, hättest du das Integral direkt auswerten können, anstatt die Rücksubstitution durchzuführen.
(und in den beiden vorletzten Termen hättest du noch die Grenzen angeben sollen)

20.08.2013, 19:15

grosserloewe

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RE: Integral mit sin^2
Wink

@Mathelover

Grundsätzlich gibt es hier 2 Methoden:

entweder alles ohne Grenzen zu rechnen und die Grenzen dann zum Schluß einsetzen,
oder die Grenzen substituieren.

Das ist aber Geschmacksache, Du wirst sehen , die einen sagen so , die anderen so, aber beides stimmt.

20.08.2013, 23:55

Mathelover

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RE: Integral mit sin^2
Alles klar, vielen Dank grosserloewe, Che Netzer und HAL 9000 smile

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