Indirekter Beweis - irrationale Zahlen

20.08.2013, 21:04	Studi92	Auf diesen Beitrag antworten »
Indirekter Beweis - irrationale Zahlen Hallo Leute, ich soll bei einer Aufgabe indirekt Beweisen, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} log_26 \end{eqnarray}$ irrationale Zahlen sind und $\begin{eqnarray} (a^2+b^2)^2>=4ab(a-b)^2 \end{eqnarray}$ für beliebige Zahlen a, b gilt. Im Studium habe ich eigentlich gar nichts (bis auf in den Vorlesungen vereinzelt) mit Beweisen zu tun, also habe ich wenig Ahnung davon. Ich habe mir den Beweis Euklids zur Irrationalität der Wurzel 2 angeschaut, aber kann ich das jetzt bei meiner Aufgabe analog machen? Für $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ Annahme: $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ ist rational. $\begin{eqnarray} \sqrt{3}=\frac{p}{q} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3=\frac{p^2}{q^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3q^2=p^2 \end{eqnarray*}$ ..... Hat jemand ein Tipp wie man vorgehen sollte? Vielen Dank im Voraus!
20.08.2013, 22:03	micha_L	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Indirekter Beweis - irrationale Zahlen Hallo, $\begin{eqnarray} p\equiv 1 \end{eqnarray}$ mod 3, dann $\begin{eqnarray} p^2\equiv\ldots \end{eqnarray}$ mod 3, $\begin{eqnarray} p\equiv 2 \end{eqnarray}$ mod 3, dann $\begin{eqnarray} p^2\equiv\ldots \end{eqnarray}$ mod 3. Da aber $\begin{eqnarray} p^2\equiv 0 \end{eqnarray}$ mod 3 gilt muss gelten ... usw. Alternativ könntest du die Primfaktorzerlegung heranziehen. Mfg Michael
20.08.2013, 22:10	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
@Studi92 Oder du könntest wie bei Wiki argumentieren. Grüße.
22.08.2013, 15:11	Studi92	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit der $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ habe ich hinbekommen, aber mit dem Logarithmus und der anderen Aufgabe noch nicht. Kann ich für den Logarithmus sagen Annahme $\begin{eqnarray} log_26 \end{eqnarray}$ sei rational. $\begin{eqnarray} log_26=\frac{p}{q}~<==>~2^\frac{p}{q}=6 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p,q\neq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2^p=6^q \end{eqnarray}$ Ein Widerspruch, weil 2 nicht durch 3 teilbar ist und deshalb ist $\begin{eqnarray} log_26 \end{eqnarray}$ irrational. Hat jemand eine Idee wie man die letzte Aufgabe angehen kann? Vielen Dank im Voraus!
22.08.2013, 15:57	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Zunächst einmal kannst du ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $\begin{eqnarray} ab > 0 \end{eqnarray}$ , denn sonst ist die Ungleichung eh offensichtlich. Dann ist die Ungleichung äquivalent zu $\begin{eqnarray} \sqrt{ab(a-b)^2} \leq \frac{a^2+b^2}{2} \end{eqnarray}$ . Diese kannst du mit der Ungleichung vom arithmetisch-geometrischen Mittel zeigen.
22.08.2013, 17:22	Studi92	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich habs hinbekommen, vielen Dank Leute!
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