Zerfällungskörper und Galois Gruppe bestimmen

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Zerfällungskörper und Galois Gruppe bestimmen
Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte gerne folgende Aufgabe endlich verstehen, da sie angeblich äußerst Klausur relevant sei smile

Sei . Sei Zerfällungskörper von und die Galois Gruppe von (also

Zeigen Sie:

Meine Ideen:
Also um den Zerfällungskörper über zu bestimmen, brauche ich die Nullstellen, des Polynoms

Mittels Substitution habe ich die vier Nullstellen:



Nun bin ich mir schon unsicher, wie es weiter geht. Ich muss jetzt die Nullstellen zu adjungieren. Die ganze Nullstelle oder nur der Teil, der nicht rational ist? Hier ist ja die ganze Nullstelle ein Wurzelausdruck, also muss die doch ganz ran.

Ich habe dann: Ich habe jetzt nur die zwei, den das Vorzeichen vor der Wurzel kann ich ja in einfach ändern.

Ich lasse es mal bis hier, und freu mich über korrektur.

(als nächstes würde ich dann den Körpergrad bestimmen, den der sagt mir welche Mächtigkeit die Galoisgruppe hat - aber erstmal sollte ich wissen ob das bislang stimmt)

Danke
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt so weit.

Was den Körpergrad angeht, hast du ja schon die Lösung gegeben. Du musst jetzt nur noch versuchen das zu zeigen.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann versuche ich das gleich mal.

Um den Körpergrad der Gesamterweiterung zu bekommen, verwende ich den Gradsatz und ermittle die Grade der Körpererweiterungen: und noch mit minus ein mal.

das wollte ich über das Minimalpolynom machen.

das habe ich ja schon gegeben: ist irred. (Eisenstein p = 5) und normiert also Minimalpolynom, dann ist der Körpergrad der Einzelnen jeweils 4.

Nach dem Gradsatz gilt dann: stimmt das ?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst doch zeigen, dass die Galoisgruppe ist.

Wie kannst du dann auf die Idee kommen, dass 8 als Erweiterungsgrad des Zerfällungskörper richtig wäre? verwirrt
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Ups Hammer

Ok, also der Körpererweiterungsgrad muss auch 4 sein.

Es ist ja:

also ist:

da

dann habe ich also:

also habe ich insgesamt 4.

So jetzt sind doch die 4 Automorphismen in festgelegt durch die Abbildungsvorschrift von

da gibts natürlich 4 Möglichkeiten. (Immer auf die anderen NS abbilden)

Wie folgere ich jetzt die Ismorphie zu ?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

So macht es Sinn.

Wir nennen mal .

Entscheidend für die Galoisgruppe ist der Homomorphismus mit .

Gilt für diesen (Dann ist die Galoisgruppe die kleinsche Vierergruppe) oder (Dann ist es die zyklische Gruppe) ?

Das musst du herausfinden.
 
 
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

okay, das macht sinn, denn dann hätte ich ein Element der Ordnung 4.

Aber wie kriege ich das raus?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte .

kommt nicht aus , darf also nicht von der ganzen Galoisgruppe festgehalten werden.

Da schon von dem Element festgehalten wird, kannst du was für folgern?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Damit hast du bestimmt und somit eingesehen, dass Ordnung 4 hat. Damit ist ja alles klar, oder?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

jo das passt.

Danke Wink
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe nun doch noch eine Frage:

Was spricht dagegen, die Abbildungen aus Aut(L,\mathbb Q) so zu definieren (siehe unten), so habe ich es in einer andern Aufgabe in der Musterlösung gesehen.

Ich übernehme mal die und von dir. Insgesamt habe ich vier Abbildungen:


und

und

und

und


Dann hätten alle Ordnung 2 und ich hätte raus, dass es ist.

Wir haben ja so definiert:









Wann mache ich was?

Danke für die gute Hilfe!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind keine wohldefinierten Homomorphismen.

Wegen ist ein Homomorphismus eindeutig durch das Bild von (oder ) bestimmt.

Daher kann es sowas wie oder gar nicht geben.

Denn sobald a auf a abgebildet wird, muss der Homomorphismus zwingend die Identität sein. Denn die Identität ist ein Homomorphismus und daher der einzige, der a auf a schickt.

Dasselbe gilt für "b auf b".
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das liegt nun daran, dass ist.

In dem anderen Beispiel, wo ich das gesehen habe, hatte ich das Polynom:

hier habe ich die Nullstellen und

aber:

also kann ich dann den anderen verwenden.

Kann ich mir merken, dass wenn ich die Körpererweiterung durch adjunktion von einem Element machen, dann nehme ich:










Wenn ich 2 Elemente adjungiere dann mache ich:

und

und

und

und

??

Oder wann weiß ich jetzt wie ich die Abbildungen definiere?
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