Konvergenz von Exponentialfolgen

21.08.2013, 11:17

JohnDorian

Konvergenz von Exponentialfolgen

Hallo, ich bins schon wieder Big Laugh

Meine Frage:
Ich habe die Folge $\begin{eqnarray*} (\frac{(n+\frac{7}{10})(n+\frac{7}{9}) }{(n+\frac{2}{3})(n+\frac{2}{3} ) } )^{n} \end{eqnarray*}$ und soll den Grenzwert der Folge bestimmen, wenn n gegen unendlich läuft.

Meine Überlegungen:
Zunächst habe ich es in die Form:
$\begin{eqnarray*} (\frac{n^{2}+\frac{133}{90}n +\frac{49}{90} }{n^{2}+\frac{120}{90}n+\frac{120}{90} })^{n} \end{eqnarray*}$
gebracht.

So nun komme ich ins Stocken.
Die Überlegung ist, L'Hospital anzuwenden, da ich den Fall "inf/inf" habe. Wenn es nun einzeln ableite erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} (\frac{2n+\frac{133}{90} }{2n+\frac{120}{90}})^{n} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt versuche auf die Form zu kommen, um es mit der e-Funktion auszudrücken, habe ich das Problem, dass im Nenner statt n ein 2n steht. Sprich:
$\begin{eqnarray*} (\frac{1+\frac{\frac{133}{90}}{2n} }{1+\frac{\frac{120}{90}}{2n} }) ^{n} \end{eqnarray*}$

Also war mein nächster Versuch über e^n * ln ().

Wenn ich das mit Hilfe von L'Hospital ableite bekomme ich einen unendlich langen Ausdruck aufgrund von Quotienten-/Kettenregel. Ist das echt der einzige Weg?

Bin gespannt auf eure Tipps und Danke im Voraus.

21.08.2013, 11:33

bijektion

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Hallo,

versuche es mit umformen von $\begin{eqnarray*} (\frac{n^{2}+\frac{133}{90}n%20+\frac{49}{90}%20%20%20}{n^{2}+\frac{120}{90}n+\frac{120}{90}%20%20%20})^{n} \end{eqnarray*}$ . Dividiere mal mit $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ durch. Was erhälst du dann?

21.08.2013, 11:41

JohnDorian

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Hallo,

das hatte ich auch schon überlegt. Dann erhalte ich die Form die für die Umwandlung zu e^... brauche. Jedoch mit einer Summe dahinter, sprich:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{\frac{133}{90} }+\frac{\frac{49}{90} }{n^{2}} }{e^{\frac{120}{90} }+\frac{\frac{120}{90} }{n^{2}} } \end{eqnarray*}$

in diesem Fall war ich mir unsicher.
Lasse ich den lim dann einfach laufen (was bedeutet, dass die Summen hinter der e-Funktion gegen 0 streben) und erhalte damit als Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{13}{90} } \end{eqnarray*}$ ?

21.08.2013, 11:44

bijektion

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Zitat:

Original von JohnDorian

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{\frac{133}{90} }+\frac{\frac{49}{90} }{n^{2}} }{e^{\frac{120}{90} }+\frac{\frac{120}{90} }{n^{2}} } \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn darauf? Schreib erstmal hin, was rauskommt wenn du nur durch $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ dividierst smile

21.08.2013, 11:51

JohnDorian

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Ich hoffe ich versteh dich richtig und du meinst, ich soll n² aus dem Bruch rausziehen. Dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1+\frac{133/90}{n}+\frac{49/90}{n^{2} } } {1+\frac{120/90}{n}\frac{120/90}{n^{2} } }) ^{n} \end{eqnarray*}$

21.08.2013, 11:57

HAL 9000

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@JohnDorian

Es kommt natürlich auch drauf an, was du an Vorwissen einsetzen kannst. Wenn du z.B. bereits

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n = e^a \end{eqnarray*}$ für beliebige reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$

kennst, dann ist die Aufgabe ein Einzeiler basierend auf

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{\left(n+\frac{7}{10}\right)\left(n+\frac{7}{9}\right)}{\left(n+\frac{2}{3}\right)\left(n+\frac{2}{3}\right)}\right)^n = \left( \frac{\left(1+\frac{7}{10n}\right)\left(1+\frac{7}{9n}\right)}{\left(1+\frac{2}{3n}\right)\left(1+\frac{2}{3n}\right)}\right)^n = \frac{\left(1+\frac{7}{10n}\right)^n\left(1+\frac{7}{9n}\right)^n}{\left(1+\frac{2}{3n}\right)^n\left(1+\frac{2}{3n}\right)^n} \end{eqnarray*}$ .

D.h., das Ausmultiplizieren zu derartigen quadratischen Termen ist gar nicht nötig.

21.08.2013, 11:58

bijektion

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Genau das meinte ich, nur ein kleiner plus vergessen smile

$\begin{eqnarray*} (\frac{1+\frac{133/90}{n}+\frac{49/90}{n^{2} } } {1+\frac{120/90}{n}+\frac{120/90}{n^{2} } }) ^{n} \end{eqnarray*}$

So und jetzt kannst du, wie du bereits erwähnt hast, den Term mit der Exponentialfunktion darstellen. Weißt du wie?

Benutze $\begin{eqnarray*} a^x = e^{ln(a^x)}=e^{x*ln(a)} \end{eqnarray*}$

21.08.2013, 12:03

JohnDorian

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Zitat:

Original von HAL 9000
@JohnDorian

Es kommt natürlich auch drauf an, was du an Vorwissen einsetzen kannst. Wenn du z.B. bereits

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n = e^a \end{eqnarray*}$ für beliebige reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$

kennst, dann ist die Aufgabe ein Einzeiler basierend auf

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{\left(n+\frac{7}{10}\right)\left(n+\frac{7}{9}\right)}{\left(n+\frac{2}{3}\right)\left(n+\frac{2}{3}\right)}\right)^n = \left( \frac{\left(1+\frac{7}{10n}\right)\left(1+\frac{7}{9n}\right)}{\left(1+\frac{2}{3n}\right)\left(1+\frac{2}{3n}\right)}\right)^n = \frac{\left(1+\frac{7}{10n}\right)^n\left(1+\frac{7}{9n}\right)^n}{\left(1+\frac{2}{3n}\right)^n\left(1+\frac{2}{3n}\right)^n} \end{eqnarray*}$ .

D.h., das Ausmultiplizieren zu derartigen quadratischen Termen ist gar nicht nötig.

Das ist defintiv bekannt. Ich habe nur gerade nicht geblickt, dass ich das n einfach überall rausziehen kann Hammer

. Damit wirds natürlich am einfachsten und ich muss den Umweg über e^ln(...) gar nicht gehen.

Perfekt, vielen Dank bijektion und HAL 9000 Freude

21.08.2013, 17:13

HAL 9000

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Eine Anmerkung noch zum anderen Weg bzw. Fällen, wo es nicht so "direkt" geht: Man kann sich auch allgemein überlegen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{a_n}{n} \right)^n = \exp\left( \lim_{n\to\infty} a_n \right) \end{eqnarray*}$

für alle konvergenten Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ gilt. Mit Landau-Symbolen kann man das griffig

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{a}{n} + o\left( \frac{1}{n} \right) \right)^n = e^a \end{eqnarray*}$

schreiben. Die obigen Terme mit $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ im Nenner würden dann unter das $\begin{eqnarray*} o\left( \frac{1}{n} \right) \end{eqnarray*}$ fallen.

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