Galoisgruppe Isomorph zu Z/mZ*

21.08.2013, 10:39

steviehawk

Meine Frage:
Hallo Leute, ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe.

Es sei $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ die Einheitswurzel der Ordnung 16 in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} K = \mathbb Q(\zeta) \end{eqnarray*}$ .

Bestimmen Sie das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ und bestimmen sie $\begin{eqnarray*} Aut(K,\mathbb Q) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also als Minimalpolynom habe ich das 16te Kreisteilungspolynom, $\begin{eqnarray*} X^8+1 \end{eqnarray*}$

So jetzt wollte ich $\begin{eqnarray*} Aut(K,\mathbb Q) \end{eqnarray*}$ bestimmen, ich weiß, dass die Gruppe Ordnung 8 hat. Wäre sie zyklisich hätte ich $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 8 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist sie aber nicht! In der Lösung wird das wie folgt begründet.

"Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} Aut(K,\mathbb Q) \cong (\mathbb Z/16 \mathbb Z)^{\times} \end{eqnarray*}$ ist"

Aber woher weiß ich den das? Ist das immer so? Also auch für andere Zahlen?

Der Rest ist mir dann klar, warum man auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/4 \mathbb Z \times \mathbb Z/2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ kommt.

Danke für die Hilfe

EDIT: Gilt wohl nur hier, für den Kreisteilungskörper - Schade

21.08.2013, 11:02

zweiundvierzig

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RE: Galoisgruppe Isomorph zu Z/mZ*

Zitat:

Original von steviehawk
EDIT: Gilt wohl nur hier, für den Kreisteilungskörper - Schade

Ja, allerdings gilt die Aussage immerhin für jeden Kreisteilungskörper, d.h. $\begin{eqnarray*} \mathrm{Gal}(\mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q) \cong (\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times \end{eqnarray*}$ .

21.08.2013, 11:11

steviehawk

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RE: Galoisgruppe Isomorph zu Z/mZ*
ja das ist doch was Freude

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Galoisgruppe Isomorph zu Z/mZ*

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