Radialsymmetrische Lösung der Laplace Gleichung

22.08.2013, 11:12	Nanny	Auf diesen Beitrag antworten »
Radialsymmetrische Lösung der Laplace Gleichung Meine Frage: Hi Zusammen, ich sitze hier vor einem Problem und komme einfach nicht weiter. Und zwar versuche ich die radialsymmetrischen Lösungen der Laplace Gleichung zu finden. Meine Ideen: Also bisher habe ich: $\begin{eqnarray} u(x)=f(\| x \|) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x\|=\sum\limits_{i=1}^n (x_i^2)^{1/2} \end{eqnarray}$ soll die Laplace Gleichung lösen. Mit der Kettenregel: $\begin{eqnarray} {\partial u \over \partial x_i} = f'(\|x\|) {x_i \over \|x\|} \end{eqnarray}$ Dann nochmal ableiten: $\begin{eqnarray} {\partial \over \partial x_i}{\partial u \over \partial x_i} = f''(\|x\|) {x_i^2 \over \|x\|^2} + f'(\|x\|) {1 \over \|x\|} - f'(\|x\|) {x_i^2 \over \|x\|^3} \end{eqnarray}$ Bis hier hin bin ich gekommen, jedoch verstehe ich den folgenden Schritt nicht. Jedenfalls kommt dies raus: $\begin{eqnarray} \Delta^2 u = \sum\limits_{i=1}^n {\partial \over \partial x_i}{\partial u \over \partial x_i} = n{f'(\|x\|) \over \|x\|} + f''(\|x\|) - {f'(\|x\|) \over \|x\|} \end{eqnarray}$ Meine Frage ist nun, woher kommt das n ? Ich vermute mal stark das es etwas mit der Summe zu tun hat. Vielleicht kann mir jemand diesen Schritt mal vorrechnen damit ich ihn verstehe. Vielen Dank im vorraus.
22.08.2013, 11:21	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radialsymmetrische Lösung der Laplace Gleichung Vereinfache doch einfach mal $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n\frac\partial{\partial x_i}\frac{\partial u}{\partial x_i}=\sum_{i=1}^nf''(\lvert x\rvert)\frac{x_i^2}{\lvert x\rvert^2}+\sum_{i=1}^nf'(\lvert x\rvert)\frac1{\lvert x\rvert}+\sum_{i=1}^nf'(\lvert x\rvert)\frac1{\lvert x\rvert}\frac{x_i^2}{\lvert x\rvert^2}\,. \end{eqnarray}$ Übrigens: Deine Darstellung/Definition von $\begin{eqnarray} \lvert x\rvert \end{eqnarray}$ ist falsch und statt $\begin{eqnarray} \Delta^2 \end{eqnarray}$ sollte es natürlich $\begin{eqnarray} \Delta \end{eqnarray}$ heißen (oder $\begin{eqnarray} \nabla^2 \end{eqnarray}$ ).
22.08.2013, 11:56	Nanny	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radialsymmetrische Lösung der Laplace Gleichung Danke, nochmal aufschreiben hat es gebracht Das n kommt vom Summieren der 1. Bei dem Laplacesymbol habe ich mich nur vertippt, aber was ist denn an der Definition für das \|x\| falsch? Im R2 hätte ich doch z.B. $\begin{eqnarray} r=\|x\|=(x^2+y^2)^{1/2} \end{eqnarray}$ . Viele Grüße
22.08.2013, 11:58	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radialsymmetrische Lösung der Laplace Gleichung Ja, genau. Aber es ist im allgemeinen $\begin{eqnarray} \sqrt{x^2+y^2}\neq\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2} \end{eqnarray}$ .
22.08.2013, 12:14	Nanny	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radialsymmetrische Lösung der Laplace Gleichung Klar, die Wurzel gehört über das Summenzeichen, also ist im Prinzip nur die Klammer falsch gesetzt. Danke für die Hilfe.

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